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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis B eintritt, vorausgesetzt dass ein anderes Ereignis A vorher bzw. gleichseitig mit B eintritt. Man bezeichnet die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A mit p ( B A ) (auch p ( B / A ) oder p ( B | A ) ) und sie ist gegeben durch die Formel

p ( B A ) = p ( A B ) p ( A ) .
Beispiel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Werfen zweier Münzen die zweite Münze „Kopf” zeigt, unter der Voraussetzung, dass bereits die erste Münze „Kopf” zeigt?

Der Ereignisraum des Zufallsexperiments ist

Ω = { K K , K Z , Z K , Z Z } ,

wobei K K = ( Kopf , Kopf ) usw. die gleichwahrscheinlichen Elementarereignisse sind. Das Ereignis, dass die erste Münze „Kopf” zeigt, ist

A = { K K , K Z }

und beträgt die Wahrscheinlichkeit p ( A ) = 0,5 . Das Ereignis, dass die zweite Münze „Kopf” zeigt, ist

B = { K K , Z K }

und beträgt die Wahrscheinlichkeit p ( B ) = 0,5 . Da es bekannt ist, dass Ereignis A bei der ersten Münze eingetreten ist, besteht der Ereignisraum bei der zweiten Münze nicht aus allen 4 Elementarereignissen von Ω , sondern nur noch aus den 2 Elementarereignissen von A . Nur eines davon repräsentiert den Fall, dass die zweite Münze „Kopf” zeigt und bildet die Menge

A B = { K K } .

Bezeichnet man die Anzahl der zu einem Ereignis A gehörenden Elementarereignisse mit h ( A ) , so beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit

p ( B A ) = h ( A B ) h ( A ) = 1 2 .

Alternativ gilt

p ( A B ) = h ( A B ) h ( Ω ) = 1 4

und

p ( A ) = h ( A ) h ( Ω ) = 2 4 = 1 2

und daraus ergibt sich

p ( B A ) = h ( A B ) h ( A ) = p ( A B ) p ( A ) = 1 4 1 2 = 1 2 .

Ein Ereignis B ist von einem Ereignis A unabhängig, wenn das Eintreten von B vom Eintreten oder Nichteintreten von A nicht abhängt, d.h. es gilt

p ( B A ) = p ( B A ¯ )

Es lässt sich zeigen, dass in diesem Fall

p ( B A ) = p ( B )

gilt. Entsprechend ist Ereignis B vom Ereignis A abhängig, wenn

p ( B A ) p ( B A ¯ )

gilt.

p ( A B ) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl ein Ereignis A als auch ein Ereignis B eintritt und es folgt aus Gleichung

p ( A B ) = p ( A ) p ( B A ) .

Die Gleichung ist der so genannte Multiplikationssatz. Falls A und B unabhängig voneinander sind, so ergibt sich

p ( A B ) = p ( A ) p ( B ) .

Es gilt in analoger Weise

p ( A B ) = p ( B ) p ( A B ) .

Für die drei Ereignisse A , B und C ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei eintreten

p ( A B C ) = p ( A ) p ( B A ) p ( C A B ) , .

Dabei ist p ( C A B ) die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis C , unter der Voraussetzung, dass vorher die Ereignisse A und B eingetreten ist. Sind alle drei Ereignisse voneinander unabhängig, lautet der Multiplikationssatz einfach

p ( A B C ) = p ( A ) p ( B ) p ( C ) .

Totale Wahrscheinlichkeit

Spannen die paarweise disjunkten Ereignisse A 1 , A 2 , , A n den Ereignisraum Ω auf

A 1 A 2 A n = Ω ,

dann lässt sich ein beliebiges Ereignis A als Vereinigung von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen darstellen

A = ( A A 1 ) ( A A 2 ) ( A A n ) .

Laut dem Additionssatz ist nun

p ( A ) = p ( A A 1 ) + p ( A A 2 ) + + p ( A A n ) , .

Mit Hilfe des Multiplikationssatzes erhält man

p ( A A i ) = p ( A i ) p ( A A i )

und folglich

p ( A ) = i = 1 n p ( A i ) p ( A A i ) .

Der Ausdruck ist als Theorem der totalen Wahrscheinlichkeit bekannt.

Beispiel

In einer Urne befinden sich 200 blaue, 300 rote und 500 grüne Murmeln. 5 % der blauen, 4 % der roten und 2 % der grünen Murmeln sind gesprungen. Wenn man eine Murmel zieht, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gezogene Murmel gesprungen ist?

Man bezeichnet mit A 1 , A 2 , A 3 das Ereignis, dass eine gezogene Murmel blau, rot oder grün ist, und mit A das Ereignis, dass die gezogene Murmel gesprungen ist. Man setzt

A = ( A A 1 ) ( A A 2 ) ( A A 3 ) ,

woraus folgt

p ( A ) = p ( A 1 ) p ( A A 1 ) + p ( A 2 ) p ( A A 2 ) + p ( A 3 ) p ( A A 3 ) .

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind

p ( A 1 ) = 200 1.000 = 0,2 p ( A A 1 ) = 5 100 = 0,05 p ( A 2 ) = 300 1.000 = 0,3 p ( A A 2 ) = 4 100 = 0,04 p ( A 3 ) = 500 1.000 = 0,5 p ( A A 3 ) = 2 100 = 0,02

und folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

p ( A ) = 0,2 0,05 + 0,3 0,04 + 0,5 0,02 = 0,032 .

Hier noch eine verwandte Fragestellung. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gezogene gesprunge Murmel rot ist, wird mit Hilfe der Bayes´schen Regel berechnet und beträgt

p ( A 2 A ) = p ( A 2 ) p ( A A 2 ) i = 1 3 p ( A i ) p ( A A i ) = 0,3 0,04 0,2 0,05 + 0,3 0,04 + 0,5 0,02 = 0,375 .
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