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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Abhängige und unabhängige Wahrscheinlichkeiten

Wirft man eine Münze zweimal, so ist das Ergebnis des zweiten Wurfs sicher nicht von dem des ersten abhängig. Auch beim zweiten Wurf wird die Wahrscheinlichkeit für Kopf 0,5 betragen. Anders verhält es sich, wenn das erste Experiment den Stichprobenraum verändert. Das klassische Beispiel hierfür ist das Ziehen von Losen oder Kugeln aus einer Urne, bei dem gezogene Kugeln nicht zurückgelegt werden.

Abb.1
Urne mit acht roten und fünf blauen Kugeln

In der abgebildeten Urne befinden sich fünf blaue und acht rote Kugeln. Wenn man eine Kugel zieht, ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die gezogene Kugel blau ist, 5 / 13 0,385 . Wenn man drei Kugeln zieht, sieht das Baumdiagramm wie folgt aus.

Abb.2
Baumdiagramm für das Ziehen von drei Kugeln aus der Urne ohne zurücklegen der Kugeln

Zieht man hingegen dreimal eine Kugel und legt die jeweils gezogene Kugel sofort zurück, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten.

Abb.3
Baumdiagramm für das Ziehen von Kugeln mit sofortigen Zurücklegen der jeweiligen Kugel

Beim „Ziehen mit Zurücklegen” sind die Wahrscheinlichkeiten voneinander unabhängig, beim „Ziehen ohne Zurücklegen” hingegen sind die Wahrscheinlichkeiten voneinander abhängig.

In einem mehrstufigen Experiment ist es zunächst wichtig festzustellen, ob die einzelnen Stufen voneinander abhängig oder unabhängig sind.

Unabhängige Experimente
Zwei Stufen eines Zufallsexperiments sind voneinander unabhängig, wenn ihre Stichprobenräume gleich sind.

Auch wer hundertmal keine sechs gewürfelt hat, hat beim hundertersten Wurf keine größere Chance, eine sechs zu würfeln. Der „Serienverlierer” im Lotto glaubt zwar, dass er nun langsam an der Reihe sei, zu gewinnen – seine Gewinnwahrscheinlichkeit hat sich jedoch nicht gebessert. Auch die Feststellung, dass etwas „passieren musste, weil ein riskantes Verhalten viel zu lange gut gegangen ist”, ist falsch. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags ist immer gleich groß.

Man sieht, dass der alltägliche und subjektive Umgang mit Wahrscheinlichkeiten mit der exakten Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht viel zu tun hat. Andererseits ist die Beschreibung alltäglichen Verhaltens durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht immer hilfreich: Wer beispielsweise einen riskanten Sport betreibt und gegen alle Wahrscheinlichkeit keine Unfälle hat, neigt vielleicht dazu, unbewusst das Risiko zu steigern...

Wie wir bereits gesehen haben, ändert sich bei einem mehrstufigen Experiment, dessen Stufen voneinander abhängig sind, der Stichprobenraum. Man muss also für jede Stufe einen neuen Stichprobenraum angeben. Das wird in einem Baumdiagramm besonders gut sichtbar: Dort sieht man, wie sich die Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Stufen des Experiments verändern und damit auch, wie sich der Stichprobenraum verändert hat.

Ein solches Experiment verhält sich trotzdem sehr ähnlich.

  • Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm ist das Produkt der in ihm auftretenden Einzelwahrscheinlichkeiten. Eine aus Einzelwahrscheinlichkeiten zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit erhält man also, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert.
  • Die Wahrscheinlichkeit mehrerer Pfade im Baumdiagramm ist die Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit der Summe von Ereignissen erhält man also auch hier, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.
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