Grundbegriffe

Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Begriff des Zufallsexperiments, z.B. der Vorgang des einmaligen oder mehrmaligen Werfens einer Münze oder eines Würfels. Ein solcher Vorgang wird nach bestimmten Regeln ausgeführt, ist beliebig oft wiederholbar und sein Ergebnis hängt vom Zufall ab. Die Gesamtheit aller möglicher elementarer Ergebnisse eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse) bildet eine Menge, die als Ereignisraum oder Stichprobenraum $\Omega$ bezeichnet wird.

Beispiel

Beim einmaligen Werfen eines Würfels entsteht der Ereignisraum

$$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Beim zweimaligen Werfen einer Münze entsteht eine Menge geordneter Paare

$$\Omega =\{(\text{Kopf},\text{Kopf}),(\text{Kopf},\text{Zahl}),(\text{Zahl},\text{Kopf}),(\text{Zahl},\text{Zahl})\},$$

wobei $(\mathit{i},\mathit{j}),\mathit{i},\mathit{j}=$„Kopf”, „Zahl” ein Elementarereignis darstellt.

Unter dem Begriff Ereignis versteht man eine Teilmenge des Ereignisraumes. Beispielsweise ist das Werfen einer Augenzahl $\ge$ 3 das Ereignis

$$\mathit{A}=\{3,4,5,6\}.$$

Beim zweimaligen Werfen einer Münze ist das Ereignis, dass beim ersten Wurf ein „Kopf” eintritt:

$$\mathit{A}=\{(\text{Kopf},\text{Zahl}),(\text{Kopf},\text{Kopf})\}$$

und dass beim zweiten Wurf ein „Kopf” eintritt:

$$\mathit{B}=\{(\text{Kopf},\text{Kopf}),(\text{Zahl},\text{Kopf})\}.$$

Die Vereinigung der Ereignisse $\mathit{A}$ und $\mathit{B}$, $\mathit{A}\cup \mathit{B}$, ist das Ereignis, dass beim ersten oder zweiten Wurf ein „Kopf” eintritt:

$$\mathit{A}\cup \mathit{B}=\{(\text{Kopf},\text{Kopf}),(\text{Kopf},\text{Zahl}),(\text{Zahl},\text{Kopf})\}.$$

Der Durchschnitt von $\mathit{A}$ und $\mathit{B}$, $\mathit{A}\cap \mathit{B}$, ist das Ereignis, dass beim ersten und zweiten Wurf ein „Kopf” erscheint:

$$\mathit{A}\cap \mathit{B}=\{(\text{Kopf},\text{Kopf})\}.$$

Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\mathit{A}$ eines Zufallsexperiments mit der reellen Zahl $\mathit{p}(\mathit{A})$, die die Bedingung

$$0\le \mathit{p}(\mathit{A})\le 1$$

genügt. Ist $\mathit{A}$ der ganze Ereignisraum $\Omega$, so gilt

$$\mathit{p}(\Omega )=1.$$

Die Wahrscheinlichkeit für das unmögliche Ereignis $\varnothing$ beträgt

$$\mathit{p}(\varnothing )=0.$$

Schließen sich zwei Ereignisse $\mathit{A}$ und $\mathit{B}$ gegenseitig aus, d.h. $\mathit{A}\cap \mathit{B}=\varnothing$ ($\mathit{A}$ und $\mathit{B}$ sind disjunkt), so gilt

$$\mathit{p}(\mathit{A}\cup \mathit{B})=\mathit{p}(\mathit{A})+\mathit{p}(\mathit{B}).$$

Im Allgemeinen für $\mathit{n}$ sich paarweise gegenseitig ausschließende Ereignisse ${\mathit{A}}_1,{\mathit{A}}_2,\dots ,{\mathit{A}}_{\mathit{n}}$ gilt

$$\mathit{p}({\mathit{A}}_1\cup {\mathit{A}}_2\cup \dots \cup {\mathit{A}}_{\mathit{n}})=\mathit{p}({\mathit{A}}_1)+\mathit{p}({\mathit{A}}_2)+\dots +\mathit{p}({\mathit{A}}_{\mathit{n}}).$$

Beispiel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen eines Würfels die Augensumme der beiden Würfel 5 beträgt? Das Ereignis $\mathit{A}$ dafür ist

$$\mathit{A}=\{(1,4)\}\cup \{(4,1)\}\cup \{(2,3)\}\cup \{(3,2)\}$$

und die Wahrscheinlichkeit entsprechend

$$\begin{array}{rcl}\mathit{p}(\mathit{A})& =& \mathit{p}(\{(1,4)\})+\mathit{p}(\{(4,1)\})+\mathit{p}(\{(2,3)\})+\mathit{p}(\{(3,2)\})\\ & =& \frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\\ & =& \frac{1}{9}.\end{array}$$

Ein Ereignis $\mathit{A}$ und sein Komplementärereignis $\overline{\mathit{A}}$ schließen sich definitionsgemäß gegenseitig aus

$$\mathit{A}\cap \overline{\mathit{A}}=\varnothing ,\mathit{A}\cup \overline{\mathit{A}}=\Omega$$

und somit ist

$$\mathit{p}(\mathit{A})+\mathit{p}(\overline{\mathit{A}})=1.$$

Theorem

Schließen sich zwei Ereignisse $\mathit{A}$ und $\mathit{B}$ nicht gegenseitig aus, d.h. $\mathit{A}\cap \mathit{B}\ne \varnothing$, so gilt

$$\mathit{p}(\mathit{A}\cup \mathit{B})=\mathit{p}(\mathit{A})+\mathit{p}(\mathit{B})-\mathit{p}(\mathit{A}\cap \mathit{B}).$$

Man zieht $\mathit{p}(\mathit{A}\cap \mathit{B})$ ab, so dass die Elementarereignisse des Durchschnitts nicht doppelt erfasst werden.

Beweis

$\mathit{A}\cup \mathit{B}$ lässt sich als Vereinigung zweier disjunkter Mengen schreiben

$$\mathit{A}\cup \mathit{B}=\mathit{A}\cup (\overline{\mathit{A}}\cap \mathit{B})\Rightarrow \mathit{p}(\mathit{A}\cup \mathit{B})=\mathit{p}(\mathit{A})+\mathit{p}(\overline{\mathit{A}}\cap \mathit{B}).$$

Für $\mathit{B}$ gilt ähnlich

$$\mathit{B}=(\mathit{A}\cap \mathit{B})\cup (\overline{\mathit{A}}\cap \mathit{B})\Rightarrow \mathit{p}(\mathit{B})=\mathit{p}(\mathit{A}\cap \mathit{B})+\mathit{p}(\overline{\mathit{A}}\cap \mathit{B}).$$

Kombiniert man die beiden Gleichungen, um $\mathit{p}(\overline{\mathit{A}}\cap \mathit{B})$ zu eliminieren, so ergibt sich der Additionssatz

$$\mathit{p}(\mathit{A}\cup \mathit{B})=\mathit{p}(\mathit{A})+\mathit{p}(\mathit{B})-\mathit{p}(\mathit{A}\cap \mathit{B}).$$

Beispiel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Werfen zweier Münzen wenigstens eine Münze „Kopf” zeigt? Der Ereignisraum des Zufallsexperiments ist

$$\Omega =\{\mathit{K}\mathit{K},\mathit{K}\mathit{Z},\mathit{Z}\mathit{K},\mathit{Z}\mathit{Z}\},$$

wobei $\mathit{K}\mathit{K}=(\text{Kopf},\text{Kopf})$ usw. ist. Das Ereignis, dass die erste Münze „Kopf” zeigt, ist

$$\mathit{A}=\{\mathit{K}\mathit{K},\mathit{K}\mathit{Z}\}$$

und beträgt die Wahrscheinlichkeit $\mathit{p}(\mathit{A})=\mathrm{0,5}$. Das Ereignis, dass die zweite Münze „Kopf” zeigt, ist

$$\mathit{B}=\{\mathit{K}\mathit{K},\mathit{Z}\mathit{K}\}$$

und beträgt die Wahrscheinlichkeit $\mathit{p}(\mathit{B})=\mathrm{0,5}$. Das gesuchte Ereignis, dass wenigstens eine Münze „Kopf” zeigt, ist

$$\mathit{C}=\mathit{A}\cup \mathit{B}.$$

Ereignisse $\mathit{A}$ und $\mathit{B}$ schließen sich nicht gegenseitig aus. Nach dem Additionssatz ist

$$\mathit{p}(\mathit{C})=\mathit{p}(\mathit{A})+\mathit{p}(\mathit{B})-\mathit{p}(\mathit{A}\cap \mathit{B}).$$

Aus $\mathit{A}\cap \mathit{B}=\{\mathit{K}\mathit{K}\}$ ergibt sich $\mathit{p}(\mathit{A}\cap \mathit{B})=\mathrm{0,25}$. Somit ist

$$\mathit{p}(\mathit{C})=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}.$$