Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundbegriffe
Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Begriff des Zufallsexperiments, z.B. der Vorgang des einmaligen oder mehrmaligen Werfens einer Münze oder eines Würfels. Ein solcher Vorgang wird nach bestimmten Regeln ausgeführt, ist beliebig oft wiederholbar und sein Ergebnis hängt vom Zufall ab. Die Gesamtheit aller möglicher elementarer Ergebnisse eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse) bildet eine Menge, die als Ereignisraum oder Stichprobenraum bezeichnet wird.
- Beispiel
Beim einmaligen Werfen eines Würfels entsteht der Ereignisraum
Beim zweimaligen Werfen einer Münze entsteht eine Menge geordneter Paare
wobei „Kopf”, „Zahl” ein Elementarereignis darstellt.
Unter dem Begriff Ereignis versteht man eine Teilmenge des Ereignisraumes. Beispielsweise ist das Werfen einer Augenzahl 3 das Ereignis
Beim zweimaligen Werfen einer Münze ist das Ereignis, dass beim ersten Wurf ein „Kopf” eintritt:
und dass beim zweiten Wurf ein „Kopf” eintritt:
Die Vereinigung der Ereignisse und , , ist das Ereignis, dass beim ersten oder zweiten Wurf ein „Kopf” eintritt:
Der Durchschnitt von und , , ist das Ereignis, dass beim ersten und zweiten Wurf ein „Kopf” erscheint:
Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis eines Zufallsexperiments mit der reellen Zahl , die die Bedingung
genügt. Ist der ganze Ereignisraum , so gilt
Die Wahrscheinlichkeit für das unmögliche Ereignis beträgt
Schließen sich zwei Ereignisse und gegenseitig aus, d.h. ( und sind disjunkt), so gilt
Im Allgemeinen für sich paarweise gegenseitig ausschließende Ereignisse gilt
- Beispiel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen eines Würfels die Augensumme der beiden Würfel 5 beträgt? Das Ereignis dafür ist
und die Wahrscheinlichkeit entsprechend
Ein Ereignis und sein Komplementärereignis schließen sich definitionsgemäß gegenseitig aus
und somit ist
- Theorem
- Schließen sich zwei Ereignisse und nicht gegenseitig aus, d.h. , so gilt
Man zieht ab, so dass die Elementarereignisse des Durchschnitts nicht doppelt erfasst werden.
- Beweis
lässt sich als Vereinigung zweier disjunkter Mengen schreiben
Für gilt ähnlich
Kombiniert man die beiden Gleichungen, um zu eliminieren, so ergibt sich der Additionssatz
- Beispiel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Werfen zweier Münzen wenigstens eine Münze „Kopf” zeigt? Der Ereignisraum des Zufallsexperiments ist
wobei usw. ist. Das Ereignis, dass die erste Münze „Kopf” zeigt, ist
und beträgt die Wahrscheinlichkeit . Das Ereignis, dass die zweite Münze „Kopf” zeigt, ist
und beträgt die Wahrscheinlichkeit . Das gesuchte Ereignis, dass wenigstens eine Münze „Kopf” zeigt, ist
Ereignisse und schließen sich nicht gegenseitig aus. Nach dem Additionssatz ist
Aus ergibt sich . Somit ist