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Wahrscheinlichkeiten - Eine Einführung

Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Betrachtet man ein System, das sich ausschließlich zufällig verhält, so kann man Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse in diesem System wie häufig auftreten werden. So ist es möglich, anzugeben, wie häufig beim Wurf mit zwei Würfeln zwei Sechsen auftreten, wie häufig bei einem Münzwurf mit vier Münzen drei gleiche Ergebnisse (dreimal Kopf, einmal Zahl oder umgekehrt) sind usw. Dabei beginnt man damit, dass man alle möglichen Ereignisse auflistet und durch Auszählen den Anteil der gesuchten Ereignisse an den theoretisch möglichen Ereignissen bestimmt. Hierbei hat sich für einfache Experimente das Baumdiagramm bewährt. Die folgende Abbildung zeigt ein Baumdiagramm für das viermalige Werfen einer Münze.

Abb.1
Baumdiagramm für das viermalige Werfen einer Münze

Da bei einer idealen Münze Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich sind (jeweils 0,5 ), beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Zweig des abgebildeten Baums 0,5 4 = 0,0625 oder 6,25   % . Damit beträgt also die Wahrscheinlichkeit, mit der genau drei Münzen Kopf zeigen, 0,25 , da es vier Zweige gibt, in denen Kopf genau dreimal auftritt ( 4 0,0625 = 0,25 ).

Es ist auch möglich, mehrere Zweige in einem Baum zusammenzufassen. Wenn man sich beispielsweise bei einem Würfelwurf nur dafür interessiert, ob eine Sechs geworfen wird oder nicht, ist der Baum (hier für drei Würfe) viel einfacher darstellbar.

Abb.2
Baumdiagramm für das dreimalige Werfen eines Würfels, 6 oder keine 6

Allerdings sind dann die einzelnen Zweige des Baums nicht mehr gleich wahrscheinlich, man muss also zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Zweiges immer alle in ihm enthaltenen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Bei einem „vollständigen” Baumdiagramm eines gleichverteilten Experiments kann man auch die Gesamtwahrscheinlichkeit (diese beträgt 1 ) durch die Zahl der Zweige teilen.

Die Wahrscheinlichkeit P ( A ) im klassischen Sinn (Laplace Definition der Wahrscheinlichkeit), dass bei einem sich zufällig verhaltenden System ein bestimmtes Ereignis A eintritt, ist der Quotient der Zahl der günstigen Fälle und der Zahl aller gleichmöglichen Fälle.

P ( A ) = Zahl der günstigen Fälle Zahl aller gleichmöglichen Fälle

Bei einem viermaligen Münzenwurf liegen z.B. insgesamt 16 gleichmögliche Ereignisse vor. Die Wahrscheinlichkeit, bei der genau drei Münzen Kopf zeigen, beträgt

4 16 = 0,25 .

Neben dem klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff gibt es auch den statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff.

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