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Wahrscheinlichkeiten - Eine Einführung

Historische Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs

Seit Jahrtausenden haben sich die Menschen Gedanken über den Zufall gemacht. Die Philosophen und Mathematiker der Antike wussten, dass es bei Zufallsereignissen Regelmäßigkeiten gibt. Wenn man eine Münze wirft, weiß man zwar vorher nicht, ob sie Kopf oder Zahl zeigen wird, aber man kann sich recht sicher sein, dass bei sehr vielen Münzwürfen etwa gleich oft Kopf und Zahl geworfen werden.

Es verging jedoch noch eine lange Zeit, bis sich Mathematiker mit einer systematischen Untersuchung von Wahrscheinlichkeiten beschäftigten. Derartige Überlegungen interessierte die höfische Gesellschaft des 16. und 17. Jahrhunderts, in der Glücksspiele sehr beliebt waren. So fanden auch Mathematiker bei Hofe in Europa eine Anstellung.

Der Chevalier De Mere, ein leidenschaftlicher Spieler am Hof Ludwigs des XIV., beschäftigte seinen Freund Blaise Pascal (1623 bis 1662) mit einem wahrscheinlichkeitstheoretischen Problem. Sehr populär war ein Würfelspiel, bei dem man von der Bank das Doppelte seines Einsatzes erhielt, wenn man bei 4 Würfen hintereinander keine 6 warf. Dieses Spiel lohnte sich für die Bank, was leicht zu zeigen ist. Bei jedem Wurf gibt es 5 für den Spieler günstige Möglichkeiten (die Zahlen 1 bis 5 ), also bei zwei Würfen 5 5 = 25 günstige Ergebnisse, nämlich die Paare

( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 5 , 1 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , 3 ) , ( 5 , 4 ) , ( 5 , 5 ) .

Bei vier Würfen sind es entsprechend 5 5 5 5 = 625 für den Spieler günstige Viertupel, insgesamt aber 6 6 6 6 = 1296 mögliche Viertupel. Damit bleiben für die Bank 1296 - 625 = 671 günstige Ausgänge, die natürlich für den Spieler ungünstig sind. Auf lange Sicht wird also die Bank Gewinn erwirtschaften.

De Mere wollte nun das Spiel so variieren, dass man gewinnt, wenn in 24 Würfen mit 2 Würfeln keine Doppelsechs erzielt. Seine Begründung war folgende: Bei einem Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse, die Gesamtzahl der Würfe beträgt 4 . Bei zwei Würfeln gibt es 36 mögliche Ergebnisse, also muss die Gesamtzahl der Würfe 24 betragen ( 4 : 6 = 24 : 36 ). Es zeigte sich aber recht schnell, dass nun die Bank Verlust machte.

Welchen Denkfehler hat de Mere gemacht? Oder vielmehr - wie müsste man wirklich rechnen?

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