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Kontinuierliche Verteilungen

Zentraler Grenzwertsatz

Bei der wiederholten Messung einer Größe x erhält man eine Folge von Messwerten x 1 , x 2 , , x n . Da immer Messfehler eintreten, kann man jeden Messwert als Zufallsvariable X 1 , X 2 , , X n betrachten. Das arithmetische Mittel x = i = 1 n x i der n Messungen ist ein Schätzwert für das arithmetische Mittel μ der Grundgesamtheit sämtlicher Messungen und ist auch selbst eine Zufallsvariable. Von der Verteilung des arithmetischen Mittels von n identischen Messungen (oder Stichproben) wissen wir aber nichts. Gehen wir davon aus, dass jede Zufallsvariable X i die gleiche Verteilung besitzt, ist zu vermuten, dass die Verteilung des arithmetischen Mittels von dieser Verteilung abhängt. Sind die Zufallsvariablen X i alle normalverteilt ist wegen der Additivitätseigenschaft der Normalverteilung das arithmetischen Mittel X auch normalverteilt. Für eine beliebige Verteilung der Zufallsvariable X i mit einem Erwartungswert μ und einer Varianz σ 2 strebt aber das arithmetische Mittel X von n Zufallsvariablen X i auch gegen die Normalverteilung mit dem Erwartungswert μ und der Varianz σ 2 / n mit wachsenden n . Dies ist der zentrale Grenzwertsatz und er ist eines der wichtigsten Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er besagt, dass das arithmetische Mittel unabhängiger Zufallsvariablen für große Anzahlen n annähernd normalverteilt ist und nicht von der Verteilung der Zufallsvariablen abhängt.

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