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Kontinuierliche Verteilungen

Verteilungsdichtefunktion der Summe zweier Zufallsgrößen

In vielen Fällen betrachtet man mehrere Ereignisse als Ergebnis eines Zufallsexperiments. Die Zufallsgrößen bilden einen Vektor ( X 1 , X 2 , , X n ) , den man als Zufallsvektor bezeichnet. Betrachten wir nur zwei Zufallsvariable X 1 und X 2 und stellen uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Summe x 1 + x 2 zwischen y und y + Δ y liegt, bezeichnet mit P ( y X 1 + X 2 y + Δ y ) . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X 1 einen Wert zwischen x 1 und x 1 + Δ x 1 annimmt ist

P ( x 1 X 1 x 1 + Δ x 1 ) = h 1 ( x 1 ) Δ x 1 .

Da y = x 1 + x 2 zwischen y und y + Δ y liegen soll, muss auch x 2 = y - x 1 zwischen y - x 1 und y - x 1 + Δ y liegen, wofür die entsprechende Wahrscheinlichkeit

P ( y - x 1 X 2 y - x 1 + Δ y ) = h 2 ( y - x 1 ) Δ y

lautet.

Wir gehen davon aus, dass die Zufallsvariable X 1 und X 2 stochastisch unabhängig voneinander sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Ereignisse eintreten, durch den Multiplikationssatz gegeben.

h 1 ( x 1 ) Δ x 1 h 2 ( y - x 1 ) Δ y

Nun müssen wir über alle mögliche Werte von x 1 summieren (Vereinigung von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen), da sich ein bestimmter Wert von y durch verschiedene Werte x 1 verwirklichen lässt, um zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit zu gelangen.

P ( y X 1 + X 2 y + Δ y ) = - h 1 ( x 1 ) Δ x 1 h 2 ( y - x 1 ) Δ y d x 1

mit

P ( y X 1 + X 2 y + Δ y ) = h ( y ) Δ y .

Daraus folgt die Verteilungsdichtefunktion der Summe zweier Zufallsgrößen

h ( y ) = - h 1 ( x 1 ) h 2 ( y - x 1 ) d x 1 .

Man erkennt Gleichung als das Faltungsprodukt der Funktionen h 1 ( x 1 ) und h 2 ( x 2 ) .

Beispiel

Gegeben seien zwei normalverteilte Zufallsvariable X 1 und X 2 mit den entsprechenden Verteilungsdichtefunktionen

h ( x 1 ) = 1 σ 1 2 π e - 1 2 x 1 - μ 1 σ 1 2 und h ( x 2 ) = 1 σ 2 2 π e - 1 2 x 2 - μ 2 σ 2 2 ,

wobei μ 1 bzw. μ 2 die Mittelwerte und σ 1 bzw. σ 2 die Streuungen der jeweiligen Verteilungen sind. Die Verteilungsdichtefunktion der Summe Y = X 1 + X 2 ist

h ( y ) = - h 1 ( x 1 ) h 2 ( y - x 1 ) d x 1 = 1 σ 1 2 π 1 σ 2 2 π - e - 1 2 x 1 - μ 1 σ 1 2 e - 1 2 ( y - x 1 ) - μ 2 σ 2 2 d x 1 .

Nach Berechnung des Integrals erhält man

h ( y ) = 1 σ 2 π e - 1 2 y - μ σ 2 ,

wobei

μ = μ 1 + μ 2 und σ 2 = σ 1 2 + σ 2 2

sind. Dies ist die Additivitätseigenschaft der Normalverteilung. Im Allgemeinen ist die Summe Y von n unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen X 1 , X 2 , , X n auch normalverteilt mit der Verteilungsdichtefunktion

h ( y ) = 1 σ 2 π e - 1 2 y - μ σ 2 ,

wobei gilt

μ = μ 1 + μ 2 + + μ n und σ 2 = σ 1 2 + σ 2 2 + + σ n 2 .
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