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Kontinuierliche Verteilungen

Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsfunktion und -dichtefunktion

In der Natur treten Systeme auf, bei denen die beobachteten Werte beliebige reelle Zahlen sein können. Ein Beispiel ist die Geschwindigkeit von Gasteilchen. In diesem Fall kann man nicht die Häufigkeit eines bestimmten Wertes der Geschwindigkeit angeben, sondern nur die Häufigkeit für einen bestimmten Geschwindigkeitsbereich.

N 1 Teilchen der Geschwindigkeit von c 1 bis c 1 + Δ c

N 2 Teilchen der Geschwindigkeit von c 2 = c 1 + Δ c bis c 2 + Δ c

N 3 Teilchen der Geschwindigkeit von c 3 = c 2 + Δ c bis c 3 + Δ c usw.

Für sehr hohe Teilchenzahlen (1 Mol Gas etwa 6 10 23 Teilchen!!!) und kleine Intervallgrößen verwendet man die differenzielle Schreibweise und es resultiert

d N N = h ( c ) d c ,

wobei h ( c ) die kontinuierliche Verteilungsdichtefunktion oder kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz WDF) ist. Zur Mittelwertbildung muss nun integriert werden. Es ergibt sich damit

c = d N N c = h ( c ) c d c .

Häufig interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, mit der z.B. die Geschwindigkeit eines Gasteilchens kleiner als 1.000 km s-1 ist. Für eine kontinuierliche Zufallsvariable X , definiert man die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X folgendermaßen

F ( x ) = P ( X x ) .

F ( x ) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable einen Wert von höchstens x animmt. Die Verteilungsfunktion F ( x ) hat die folgenden Eigenschaften:

  1. 0 F ( x ) 1 ,
  2. F ( x ) ist monoton wachsend,
  3. lim x -∞ F ( x ) = 0 ,
  4. lim x F ( x ) = 1
  5. und F ( x ) ist überall stetig.

F ( x ) ist keine Treppenfunktion wie bei dem diskreten Fall, sondern eine stetige Funktion (siehe Eigenschaft 5).

Die Ableitung der Verteilungsfunktion liefert die Verteilungsdichtefunktion h ( x )

d F ( x ) d x = h ( x )

und es gilt demzufolge

F ( x ) = - x h ( y ) d y .

Die Verteilungsdichtefunktion hat die folgenden zwei Eigenschaften.

  1. h ( x ) 0 .
  2. - h ( y ) d y = 1 .

Eigenschaft 2 sagt aus, dass h ( x ) auf 1 normiert ist.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X im Intervall [ a , b ] liegt, entspricht der Fläche unter der Verteilungsdichtefunktion in den Grenzen a und b

P ( a X b ) = a b h ( y ) d y = F ( b ) - F ( a ) .

Ferner ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X einen bestimmten Wert x annimmt, gleich Null (im Gegensatz zum diskreten Fall - siehe Eigenschaften bestimmter Integrale).

P ( X = x ) = lim Δ x 0 P ( x X x + Δ x ) = lim Δ x 0 x x + Δ x h ( y ) d y = 0 .

Aus diesem Grund ist es unerheblich, ob das Intervall offen, halb-offen oder geschlossen ist.

P ( a X b ) = P ( a X < b ) = P ( a < X b ) = P ( a < X < b )
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