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Spezielle Verteilungsfunktionen

Multinomialverteilung

Wie groß ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, mit einem idealen Würfel bei sechs Würfen drei Einsen, eine Zwei und zwei Vieren zu erzielen?

Am einfachsten wäre es, wenn man eine Zufallsverteilung hätte, die mehrere verschiedene Zufallsgrößen – am besten mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten, schließlich beschäftigt man sich nicht nur mit Würfeln – enthält. Betrachten wir als mögliche Ereignisse eines einzelnen Zufallsexperiments A 1 , A 2 , , A k . In unserem Beispiel ist Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ; da A i Ω gilt, müssen alle A i zusammen Ω sein, außerdem sollen alle A i durchschnittsfremd sein (im Beispiel heißt das, dass auf zwei Seiten eines Würfels immer unterschiedliche Zahlen stehen):

Ω = x = 1 k A x , A i A j = für i j .

Dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A 1 genau x 1 -mal, das Ereignis A 2 genau x 2 -mal und das Ereignis A k genau x k -mal eintritt,

p ( x 1 , x 2 , , x k ) = n ! x 1 ! x 2 ! x k ! p 1 x 1 p 2 x 2 p k x k ,

wobei p i die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A i ist, mit

i = 1 k p i = 1 und i = 1 k x i = n .

Anmerkung: 0 ! = 1 (nach Definition der Fakultät). Die x i können auch Null sein! Die Funktion p : 0 × 0 × × 0 [ 0 , 1 ] heißt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Multinomialverteilung (auf einem k -dimensionalen Zufallsvektor).

Für das Beispiel oben ist die Wahrscheinlichkeit

p = 6 ! 3 ! 1 ! 2 ! 1 6 3 1 6 1 1 6 2 0,00129 .
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