Pascal-Verteilung

Die Pascal-Verteilung (nach Blaise Pascal (1623 bis1662; unter anderem Statistik, Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist eigentlich ein Sonderfall der geometrischen Verteilung. Es handelt sich wiederum um einen unabhängigen Binomialprozess, und dabei wird betrachtet, wie oft das Ergebnis 1 eingetreten ist, bis zum $\mathit{k}$-ten Mal das Ergebnis 2 eintritt. Beispielsweise kann man damit die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass man bei einem Würfelspiel achtmal verliert, bevor man zum dritten Mal gewinnt. Die Wahrscheinlichkeit für $\mathit{k}$ Fehlschläge vor dem $\mathit{r}$-ten Erfolg ($\mathit{r}\ge 1$) bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von jeweils $\mathit{p}$ beträgt dann

$$\mathit{P}(\mathit{X}=\mathit{k})=\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{r}+\mathit{k}-1& \\ & \mathit{r}-1& \end{array}\right){\mathit{p}}^{\mathit{r}}\cdot {\left(1-\mathit{p}\right)}^{\mathit{k}};\mathit{k}\in {\mathbb{N}}_0,\mathit{r}\in \mathbb{N}.$$

Hinweis

Die Pascal-Verteilung wird auch als negative Binomialverteilung bezeichnet.