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Spezielle Verteilungsfunktionen

Poisson-Verteilung

Ähnlich wie die Binomialverteilung beschäftigt sich die Poisson-Verteilung mit Serien von Zufallsexperimenten, die nur zwei mögliche Ergebnisse haben. Man könnte also auch die Binomialverteilung verwenden. Wenn bei einem solchen Zufallsexperiment aber die Wahrscheinlichkeit eines Ausgangs sehr gering und die Serie sehr lang ist, werden die in der Binomialverteilung vorkommenden Terme so kompliziert und unübersichtlich, dass man in solchen Fällen eher die Poisson-Verteilung benutzt.

Beispiel: Bei einem Medikamententest hat sich herausgestellt, dass das neue Kopfschmerzmedikament in 0,05 % aller Fälle zu allergischen Reaktionen führt. In der Einführungsphase des Produkts wird ein letzter Test mit 30.000 Beteiligten durchgeführt. Die Teilmenge derjenigen Personen, die über allergische Reaktionen klagen, sei die Zufallsvariable X . Die Wahrscheinlichkeit, dass X genau x Elemente enthält, ist nach der Binomialverteilung

P ( X = x ) = b ( x ) = 30.000 x 0,0005 x 99,9995 30.000 - x

Die Berechnung des Binomialkoeffizienten ist ohne größeren Rechnereinsatz nicht ganz einfach. Leichter wird es mit folgendem Satz: Hält man in der Binomialverteilung den Mittelwert (Erwartungswert) λ = n p konstant und lässt die Anzahl der Versuche n stark wachsen (wodurch bei festem λ das p sehr klein wird), dann gilt

lim n , p 0 b n , p x = λ x x ! e - λ .

Das bedeutet, dass für große n und kleine p die folgende Näherungsformel gilt:

b n , p x n p x x ! e - n p .

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung lautet somit:

p : N 0 0 , 1 , p ( x ) = λ x x ! e - λ , λ > 0 .
Abb.1
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung

p ( x ) für λ = 2

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