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Spezielle Verteilungsfunktionen

Normalverteilung

Die Normalverteilung ist eine „künstliche” Verteilungsfunktion, da sie vollständig theoretisch definiert wurde, ohne dass man statistische Werte verwendete. Zumindest erscheint dies so. Eigentlich entstand die zugrunde liegende Funktion, als Carl-Friedrich Gauß (1777 bis1855) seine Theorie der Messfehler entwickelte. Gesucht wurde eine Funktion, die die Verteilung von Messwerten um den tatsächlichen Wert herum abbilden konnte. Es entstand die bekannte Gauß´sche Glockenkurve, die wohl meistgedruckte Verteilungsfunktion (sie war auf dem 10-DM-Schein abgebildet). Die zugrunde liegende Verteilungsfunktion ist eigentlich eher eine unendliche Menge von Funktionen, da ihr Mittelwert und ihre Streuung Variablen sind, mit denen man die Normalverteilung anpassen kann. Die Dichtefunktion der Normalverteilung lautet:

f ( x ) = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2 .

Dabei bezeichnet μ den Mittelwert und σ die Streuung der Verteilung.

Abb.1
Normalverteilung in Abhängigkeit von der Streuung

Gezeigt ist die Dichtefunktion der Normalverteilung f ( x ) für die Streuungen 1 (rot), 0,5 (grün) und 2 (schwarz) mit μ = 0 .

Im einfachsten Fall ist der Mittelwert 0 und die Streuung 1 . Dies bezeichnet man als die Standardnormalverteilung

f ( x ) = 1 2 π e - 1 2 x 2 .

Jede mit μ und σ normalverteilte Zufallsvariable X lässt sich in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z durch die lineare Transformation

Z = X - μ σ

überführen. Die Verteilungsfunktion der standardnormalverteilten Zufallsvariable Z ist

F ( z ) = - z f ( t ) d t = 1 2 π - z e - 1 2 t 2 d t .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z zwischen z a und z b liegt, ist

P ( z a Z z b ) = F ( z b ) - F ( z a ) = 1 2 π - z b e - 1 2 t 2 d t - 1 2 π - z a e - 1 2 t 2 d t = 1 2 π - z b e - 1 2 t 2 d t + 1 2 π z a - e - 1 2 t 2 d t = 1 2 π z a z b e - 1 2 t 2 d t .

Gewöhnlich wird die so genannte Gauß´sche Wahrscheinlichkeitsfunktion

Φ ( z ) = 2 2 π 0 z e - 1 2 t 2 d t

tabelliert. Dann ist

P ( z a Z z b ) = 1 2 Φ ( z b ) - Φ ( z a ) .

Die mit der Gauß´schen Wahrscheinlichkeitsfunktion verwandte Fehlerfunktion erf ( z ) ist auch häufig tabelliert

erf ( z ) = 2 π 0 z e - t 2 d t .

Es gilt

Φ ( z ) = erf ( z / 2 ) .

Die Fehlerfunktion erf ( z ) ist normiert, so dass erf ( ) = 1 gilt

erf ( ) = 2 π 0 e - t 2 d t = 2 π π 2 = 1

(siehe Beispiel der Gauß´schen Glockenkurve).

Es ist hervorzuheben, dass die Funktionsgleichung der Normalverteilung überhaupt definiert wurde. Dabei wurde zwar von empirischen Werten ausgegangen, so dass die Definition das Verhalten dieser Werte wiedergibt. Es bleibt aber trotzdem ein theoretisch definiertes Verteilungsgesetz. Ob es Häufigkeitsverteilungen gibt, die diesem Gesetz genügen, ist eine statistische Fragestellung, die von Fall zu Fall entschieden werden muss. Es gibt allerdings viele reale Verteilungen, die der Normalverteilung beliebig nahe kommen.

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