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Spezielle Verteilungsfunktionen

Binomialverteilung

Bei der Binomialverteilung betrachtet man einen Versuch (Bernoulli-Experiment) mit zwei möglichen Ausgängen (Münze: Kopf oder Zahl, qualitative Analyse: Substanz nachgewiesen oder nicht, Student: bestanden oder durchgefallen, Katze: tot oder lebendig usw.). Einer dieser Ausgänge wird als Erfolg (1), der andere als Misserfolg (0) bezeichnet. Uns interessiert die Zahl x der Erfolge bei einer bestimmten Zahl von Versuchen bzw. Versuchsobjekten.

Bezeichnet man nun die Gesamtzahl der Versuche mit n und die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei einem einzelnen Versuch mit p (beziehungsweise bei einem Misserfolg mit 1 - p ), so ergibt sich die Funktion

b n , p ( x ) = P ( X = x ) = n x p x ( 1 - p ) n - x für x 0 , 1 , , n  .

Die Funktion b n , p : 0 0 , 1 ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung. b n , p ( x ) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Folge von n Versuchen x Erfolge (und somit n - x Misserfolge) auftreten.

Beispiel

Bei n = 5 Münzwürfen ( p = 1 / 2 ) beträgt die Wahrscheinlichkeit für 2 Köpfe

b 5 , 1 / 2 ( 2 ) = 5 2 1 2 2 1 - 1 2 3 = 0,3125 .

Die Verteilungsfunktion B n , p ( x ) = P ( X x ) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine binomialverteilte Zufallsvariable X höchstens den Wert x annehmen kann:

B n , p ( x ) = b n , p ( 0 ) + b n , p ( 1 ) + + b n , p ( x ) = i = 0 x n i p i ( 1 - p ) n - i

Wird ein Bernoulli-Experiment sehr oft wiederholt und dann dabei analysiert, wie oft man im Durchschnitt einen Erfolg erhält, so ergibt sich der Erwartungswert

E ( X ) = n p .

Die Varianz der Binomialverteilung beträgt

σ 2 ( X ) = n p ( 1 - p ) .

Beispiel: Bei 5 Münzwürfen erhält man das Ereignis „Kopf” im Durchschnitt 5 0,5 = 2,5 , also alle 2,5-mal mit der Varianz 5 0,25 = 1,25 .

Abb.1
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung

b n , p ( x ) für n = 5 und p = 0,5

Mit wachsendem n nähert sich die (diskrete) Binomialverteilung immer mehr der Glockenform der (stetigen) Normalverteilung

f ( x ) = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2

mit

μ = n p und σ 2 = n p ( 1 - p ) .
Abb.2
Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Binomial- und Normalverteilungen

(Stabdiagramm) Binomialverteilung b n , p ( x ) für n = 50 und p = 0,2 ; (blaue Kurve) Normalverteilung für μ = 50 0,2 = 10 und σ 2 = 50 0,2 0,8 = 8

Die Bezeichnung Binomialverteilung kommt von den verwendeten Binomialkoeffizienten; sie wird allerdings auch gelegentlich als Bernoulliverteilung bezeichnet, nach Jakob Bernoulli (1654 bis1705), der sich als erster genauer mit Serien von Zufallsexperimenten befasste, die nur zwei mögliche Ergebnisse haben.

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