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Verteilungsfunktionen

Diskrete Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen

Gemäß dem Bildungsgesetz der Zahlenfolge, dass jede Folge von Zahlen durch eine mathematische Funktion abgebildet werden kann, kann man jede Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine mathematische Funktion ausdrücken. Viele dieser Funktionen sind trivial. Wir haben schon gesehen, dass die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zahlen eines Würfels durch die konstante Funktion f ( x ) = 1 / 6 , x dargestellt werden kann. Die meisten Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden natürlich durch etwas komplexere Funktionen definiert. Einige davon haben eine gewisse „Berühmtheit” erlangt, weil sie bestimmte natürliche Verteilungen beschreiben.

Zunächst definieren wir ein paar Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Definitionen

Der Stichprobenraum oder Ereignisraum Ω ist die Menge aller möglichen Ausgänge eines Experiments. Beispiele: Beim Würfel ist der Stichprobenraum

Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ;

werden zwei Würfel eingesetzt, bezeichnet man ihn am sinnvollsten durch

Ω = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , , ( 6 , 6 ) } .

Eine Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem Element ω des Stichprobenraums Ω eine reelle Zahl x zuordnet. Beispiel: Bei einem Würfelspiel werden zwei L-Würfel geworfen und das Doppelte der Summe ihrer Augen wird als Gewinn ausgeschüttet. Die entsprechende Zufallsgröße X wäre dann folgendermaßen definiert:

Ω = { ( a , b ) | a , b = 1 , 2 , , 6 } X : Ω , ( a , b ) 2 ( a + b ) .

Wir werden im Allgemeinen eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable mit großen Buchstaben X , Y , Z , bezeichnen und den einzelnen Wert, den die Zufallsvariable annimmt, mit kleinen Buchstaben x , y , z ,

X ( ω ) = x , ω Ω , x .

Die im Beispiel behandelte Zufallsvariable war über einen endlichen Ereignisraum definiert. Solche Zufallsvariablen, die nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Realisationen x 1 , x 2 , besitzen, werden als diskrete Zufallsvariablen bezeichnet. Hingegen können kontinuierliche oder stetige Zufallsvariablen jeden beliebigen Zahlenwert in einem Bereich der reellen Zahlen annehmen. Beispiele für stetige Zufallsvariablen sind das Gewicht eines Menschen oder die Bearbeitungszeit einer Aufgabe.

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (oder Wahrscheinlichkeitsverteilung) ordnet jeder Zufallsgröße X einen Wert zwischen 0 und 1 so zu, dass dieser Wert die relative Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Zufallsgröße angibt. Die Funktion

P : 0 , 1 mit p ( x ) P ( X = x ) P ( { ω | X ( ω ) = x } Ω ) ω Ω

heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X . Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen

p ( x i ) = P ( X = x i )

muss die folgenden zwei Eigenschaften besitzen:

p ( x i ) 0 i = 1 , 2 ,

und

i = 1 p ( x i ) = 1 .

Häufig interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, mit der die Werte einer Zufallsgröße X unterhalb (oder oberhalb) einer gewissen Schranke bleiben. Beispielsweise fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, mit der bei einem Würfelspiel mit zwei Würfeln die Summe ihrer Augen kleiner als 7 ist. Eine Verteilungsfunktion ähnelt also der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Funktion

F : 0 , 1 mit x F ( x ) P ( X x ) P ( { ω | X ( ω ) x } Ω ) ω Ω

heißt Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X

F ( x ) = P ( X x ) = x i x p ( x i ) .

Das Bild von F ( x ) ist das einer Treppenfunktion.

Bei der Verteilungsfunktion wird zunächst die gleiche Notation wie bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion verwendet. Dass es durchaus verschiedenartige Definitionsansätze je nach Verteilungsfunktion gibt, werden wir bei den jeweiligen Funktionen auf den nächsten Seiten beschreiben. Man kann sich zunächst einmal vorstellen, dass die Zufallsgröße anders gewählt wurde.

Im anderen Lerneinheiten werden wir uns insbesondere mit

beschäftigen.

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