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Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Der Würfel ist nicht das einzige System, dessen Kenngrößen x k nach Laplace gleichverteilt sind. Weitere Beispiele sind:

  • eine perfekte runde Scheibe, deren Ober- und Unterseite die Zahlen 0, 1 bzw. 0, 2 zeigen,
  • ein perfekter Würfel mit den Zahlen 2, 4, 6, 8, 10, 12 oder
  • ein perfektes Ikosaeder, dessen 20 gleichseitige Dreiecksflächen die Zahlen x k = k / 2 , k = 1 20 tragen.

Offensichtlich ist zu unterscheiden, was sich verteilt ( x k ) und wie es sich verteilt (in diesem Fall eine Gleichverteilung). Wir fragen uns deshalb, ob sich diese Dualität nicht mathematisch ausdrücken lässt. Tatsächlich ist das recht einfach möglich durch Spezifikation einer kontinuierlichen analytischen Funktion p ( x ) , deren Argument x eine beliebige reelle Zahl ist, und der Definition

p k p ( x k ) Δ x k

mit

Δ x k x k +1 - x k .

Zu beachten ist, dass - da p k [ 0 , 1 ] dimensionslos ist - die Funktionswerte p ( x ) die zu x inverse Dimension tragen, das heißt es gilt

[ p ] = [ x ] -1  .

Dieser Unterschied zwischen p ( x k ) und p k muss sich natürlich auch in der Benennung von p ( x ) niederschlagen. Als Verständnishilfe für die Namenswahl sei an die Massendichte ρ ( x , y , z ) eines Körpers erinnert. Die Masse im Volumenelement Δ V am Ort ( x , y , z ) ergibt sich zu

Δ m = ρ ( x , y , z ) Δ V

und die Gesamtmasse zu

m = ρ ( x , y , z ) d V  ,

wobei sich die Integration über den gesamten vom Körper eingenommenen Raum, d.h. das Körpervolumen, erstreckt. In Analogie dazu wird p ( x ) als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder Verteilungsdichtefunktion bezeichnet. Ihr Integral über den „gesamten Raum”, d.h. alle Werte der Kenngröße x , muss die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergeben.

1 = p ( x ) d x

Im Fall des Würfels (1 6) gilt p ( x ) = 1 / 6 , d.h. die analytische Funktion ist nichts anderes als eine zur x -Achse parallele Gerade.

Abb.1
Gleichverteilung der Ereignisse beim Wurf eines Laplace-Würfels

Die dimensionslosen Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch

p k = p ( x k ) 1 mit Δ x k = Δ x = 1  .

Sie sind also gleich den in der Abbildung gezeigten Rechteckflächen, d.h. gleich den Teilintegralen über die Intervalle

[ 0 , 0 + Δ x ] , [ 1 , 1 + Δ x ] , , [ 5 , 5 + Δ x ] mit Δ x = 1 .

Zu beachten ist, dass p ( x ) von der Größe des Intervalls Δ x abhängt. Um das einzusehen, betrachten wir einfach den modifizierten (perfekten) Würfel (2, 4, 6, 8, 10, 12), d.h. x k = 2 k . Auch hier gilt natürlich p k = 1 / 6 , d.h.

1 / 6 = p ( x k ) 2 mit Δ x k = Δ x = 2

Also muss gelten: p ( x ) = 1 / 12 .

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