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Verteilungsfunktionen

Häufigkeitsverteilung

Die Kenngröße der Objekte der Verteilung nimmt nur diskrete Werte (oder Merkmale) an, also z.B. nur die Zahlen 1 bis 6 bei einem Würfel oder die Merkmale Kopf und Zahl bei Münzen. Diskret bedeutet aber keineswegs ganzzahlig! Eine Messung liefert beispielsweise diskrete Werte, weil sie nur endlich fein aufgelöst werden kann; ein Thermometer kann beispielsweise nicht ( 85 / 7 ) C anzeigen. Wir betrachten das Würfelsystem etwas näher.

Das Würfelsystem

Ein perfekter Würfel hat die folgenden zwei Eigenschaften:

  1. Sechs Werte sind möglich, nämlich die Augenzahlen von 1 bis 6.
  2. Die sechs Werte treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.

Wir wollen die mittlere Augenzahl bestimmen, die nach vielen Würfen resultiert. Wegen der Eigenschaft 2 wissen wir, dass für einen perfekten Würfel 3,5 resultieren muss. Um dies zu überprüfen, können wir die folgenden zwei Wege beschreiten.

Zeit- und Scharmittelwert

Der Zeitmittelwert ergibt sich, wenn N Würfe mit einem Würfel ausgeführt und die N zeitlich aufeinander folgenden Beobachtungen gemittelt werden. Der Scharmittelwert ergibt sich, wenn mit N Würfeln gleichzeitig ein Wurf ausgeführt und die N Beobachtungen gemittelt werden. Sind alle Würfel mechanisch genau gleich, so stimmen Schar- und Zeitmittelwert überein. Bei physikalisch-chemischen Systemen können allerdings Unterschiede zwischen Schar- und Zeitmittelwert auftreten. Zum Beispiel könnten bei der Molmassenbestimmung (erstes Beispiel) die Gaskolben etwas undicht sein, so dass Teilchen langsam austreten würden. Bei gleichzeitiger Messung an 100 Kolben wäre der Druckabfall vernachlässigbar, nicht aber bei 100 aufeinanderfolgenden Messungen an einem Gaskolben.

Würfelergebnis

Ich habe tatsächlich 50 mal zwei Würfel geworfen. Die Zählung ergab:

20 mal die Augenzahl 1 17 mal die Augenzahl 2 19 mal die Augenzahl 3 14 mal die Augenzahl 4 20 mal die Augenzahl 5 10 mal die Augenzahl 6

Die mittlere Augenzahl ist

N = 20 1 + 17 2 + 19 3 + 14 4 + 20 5 + 10 6 100 =3,27

Das Würfelbeispiel lässt sich in die folgende allgemeine Form bringen, die bei beliebigen Systemen mit K diskreten Werten x k gilt:

N 1 Beobachtungen für den Wert x 1 , N 2 Beobachtungen für den Wert x 2 , N K Beobachtungen für den Wert x K .

Der Mittelwert ist dann

x = 1 N k = 1 K N k x k mit N = k = 1 K N k

Durch Umschreibung der Mittelungssumme entsteht

x = k = 1 K h k x k mit h k = N k N .

Die neuen Werte h k werden als relative Häufigkeiten bezeichnet, die Werte N k als absolute Häufigkeiten. Im obigen Beispiel haben sie folgende Werte ergeben.

h 1 = 0,20 h 2 = 0,17 h 3 = 0,19 h 4 = 0,14 h 5 = 0,20 h 6 = 0,10

Hätte ich nicht 50 mal, sondern 100 mal die beiden Würfel geworfen, wäre das Resultat geringfügig, aber merklich anders; z.B.

h 1 = 0,19 h 2 = 0,17 h 3 = 0,18 h 4 = 0,15 h 5 = 0,18 h 6 = 0,13 .

Erkennbar ist die Tendenz, dass die Werte insgesamt näher an 0,17 liegen als vorher. Bevor wir nun fortfahren zu würfeln und zu würfeln, überlegen wir uns lieber, welche h -Werte theoretisch zu erwarten sind. Zunächst einmal geben wir diesen theoretischen Werten den Namen Wahrscheinlichkeit, um sie von den empirisch ermittelten Häufigkeiten unterscheiden zu können, und ordnen ihnen das Symbol p k zu, abgeleitet vom englischen Wort „probability”. Als nächstes ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit, irgendeine (eine beliebige) der sechs Würfelzahlen zu erhalten, gleich eins ist. Anders gesagt: die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder 2 oder 3 usw. zu erhalten muss gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten p 1 bzw. p 2 , bzw. p 3 usw. sein und diese Summe ist eins.

p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = 1

Sind die verwendeten Würfel wirklich perfekt (Laplace-Würfel), d.h. haben sie eine gleichförmige Dichte, ausschließlich rechte Winkel und exakt gleiche Kantenlängen, so müssen die Einzelwahrscheinlichkeiten jeweils gleich sein.

p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = a und 6 a = 1

Also gilt

p k = 1 / 6 für k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .

Die Wahrscheinlichkeiten p k werden selbst bei Tausenden von Würfen nicht erhalten: die Häufigkeiten h k werden bei endlicher Wurfzahl immer noch, wenn auch gering, von p k abweichen. Erst im Grenzfall unendlicher vieler Würfe sind die beobachteten (empirischen) Häufigkeiten gleich der Wahrscheinlichkeit, d.h. gleich der theoretischen Erwartung:

lim N h k = p k .

Die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeiten p k hat die nachfolgende Form.

Abb.1
Die sechs Ergebnisse beim Wurf mit einem Laplace-Würfel sind alle gleich wahrscheinlich.

Eine solche Verteilung heißt Gleichverteilung, ihre Qualität „diskret” ist im Diagramm unmittelbar einsichtig.

Wirft man zwei Laplace-Würfel und summiert man die beiden Augenzahlen, so entsteht eine Verteilung mit insgesamt 11 möglichen Ergebnissen (Summe der Augenzahlen), die aber nicht alle gleich wahrscheinlich sind, wie dies die folgende Animation veranschaulicht.

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Abb.2
Würfe mit zwei Würfeln

Das Ergebnis mit der Augensumme 7 kommt mit der größten Häufigkeit vor, wie man aus der Animation entnimmt, da es bei zwei Würfen insgesamt 6 Möglichkeiten dafür gibt.

( 1 , 6 ) , ( 6 , 1 ) ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) ( 5 , 3 ) , ( 3 , 5 )

Hingegen besteht für die Augensumme 2 nur eine Möglichkeit, nämlich

( 1 , 1 ) .
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