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Verteilungen

Zweites Beispiel: Geschwindigkeitsverteilung von Gasteilchen

Abb.1
Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas

Der Zickzackweg eines Teilchens (rot markiert) ist grün aufgezeichnet (Trajektorie des Teilchens). Die geradlinigen Teilstrecken heißen freie Weglänge des Teilchens.

In der mikroskopischen Sicht besteht ein Gas aus Teilchen, die durch das Vakuum fliegen und untereinander und mit der Gefäßwand zusammenstoßen. Könnten wir zwei Fotos aller Teilchen in einer Zeit Δ t „schießen”, in der gerade noch kein Stoß stattgefunden hat, so wäre - im Prinzip - die geradlinige Wegstrecke Δ s jedes Teilchens und damit seine Absolutgeschwindigkeit c = Δ s / Δ t bestimmbar. Natürlich werden diese Geschwindigkeiten unterschiedlich sein, ihre Werte verteilen sich theoretisch über den Bereich von 0 bis (nein, es gibt keine unendlichen Geschwindigkeiten, aber wir können keine Obergrenze angeben), so dass nur Mittelwerte angegeben werden können. Die kinetische Gastheorie zeigt, dass das mittlere Geschwindigkeitsquadrat c 2 proportional zur Temperatur ist, also wird die mittlere Geschwindigkeit proportional zu T sein. Für die theoretische Berechnung der mittleren Geschwindigkeit müssen wir wissen, wieviele Teilchen jeweils gleiche Geschwindigkeitswerte besitzen. Dies ist nicht ohne weiteres möglich: Was heißt nämlich „gleiche” Geschwindigkeit und wie ist die Zahl der Teilchen gleicher Geschwindigkeit tatsächlich ermittelbar? Immerhin sind es etwa 10 23 Teilchen! Weiter unten lernen wir, wie prinzipiell vorgegangen werden muss, um dieses Problem zu lösen.

Zusammenfassung

Allen Verteilungen ist gemein, dass eine Gesamtheit von Objekten vorliegt (Wasser, Geldvermögen, zehn Kugeln, Messwerte der molaren Masse des Gases, ein Mol Gasteilchen) und dass die einzelnen Objekte nach einer Kenngröße (oder mehreren) klassifiziert werden können (Wasserhöhe, Geldmenge bei den einzelnen Menschen, x , y -Koordinaten des Kugelmittelpunkts, experimentelle Messwerte der molaren Masse, Teilchengeschwindigkeit). Es stellt sich die Frage, wie sich Verteilungen mathematisch beschreiben lassen. Dies wird im Folgenden beantwortet.

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