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Verteilungen

Erstes Beispiel: Verteilung von Messwerten

Die molare Masse eines gasförmigen Stoffes lässt sich gemäß der Formel

M = m R T p V

aus den gemessenen Werten der Gasmasse m , des Gasvolumens V , des Gasdrucks p und der Gastemperatur T berechnen. Diese vier Größen sind allerdings mit Einstell- und/oder Messfehlern behaftet.

Um die molare Masse möglichst genau zu ermitteln, führen wir zehn Messungen durch ( i = 1 , , 10 ). Dafür stellen wir zehn Gaskolben (Volumen V ) bereit, füllen sie bei eingestellter Temperatur T (Thermostat) mit dem Gas (Einwaage m ) und messen den sich ergebenden Druck p . Gemäß M = m R T / ( p V ) ergeben sich dann zehn experimentelle Werte M i ( i = 1 , , 10 ) für die unbekannte molare Masse M 0 . Die Auftragung von M i gegen i hat das folgende typische Aussehen:

Abb.1
Darstellung der Messwerte

Die Graphik zeigt erstens, dass die Messwerte M i um den wahren unbekannten Wert M 0 in zufälliger Weise mit einer gewissen Breite verteilt (oder gestreut) sind. Dies drücken wir mit folgender Formulierung aus:

M i = M 0 + r i .

Die Größe r i kennzeichnet den Messfehler. Sie wird als Zufallsgröße oder Zufallsvariable bezeichnet, ihre Werte r i verteilen sich in zufälliger (oder stochastischer) Weise um den Wert null. Bei einer genauen Messung ist ihr Wertebereich klein, sagen wir 1 % von M 0 , und bei einer ungenauen Messung groß, also zum Beispiel etwa 10 % von M 0 . Wie solche Zufallsvariablen mathematisch gekennzeichnet werden können, ist unter Zufallsfolgen zu finden. Die Grafik zeigt zweitens, dass sich bei der Summation der zehn Werte M i die zufälligen Fehler gegenseitig teilweise aufheben. Teilen wir also durch zehn, d.h. bilden wir den Mittelwert (arithmetisches Mittel, average) der zehn Messungen, bezeichnet mit M , M ¯ oder M a v , so resultiert ein wesentlich genauerer Wert für die molare Masse:

M = 1 10 i = 1 10 M i M 0 .

Ein solcher Mittelwert wird als Schätzwert für die wahre molare Masse bezeichnet, d.h. auch er ist nicht genau gleich M 0 . Um seine Streuung zu bestimmen, könnten wir die zehn Experimente noch neunmal wiederholen, also insgesamt 100 Einzelexperimente durchführen, und zehn Mittelwerte bestimmen. Deren Streuung um M 0 wäre dann deutlich geringer und ihr Mittelwert ein noch besserer Schätzwert von M 0 (der Mittelwert der Mittelwerte ist gleich dem Mittelwert über alle 100 Messungen. Das mag der/die Leser/in bitte selbst beweisen). Es stellt sich daher generell die Frage, ob eine Aussage möglich ist, wie nahe eigentlich ein Mittelwert am wirklichen Wert der Messgröße liegt. Dies ist in der Tat möglich, wie weiter unten gezeigt wird.

Hier sollte allerdings noch etwas Grundsätzliches zum Begriffspaar „stochastisch” und „statistisch” gesagt werden. Die Statistik gehört zu den ältesten Gebieten der angewandten Mathematik. Die frühesten Aufzeichnungen, gefunden in den Bibliotheken von Ur und Ninive, enthalten schon statistische Daten über Ernten und Steuerabgaben. Bei den Römern war der statisticus der Verwalter eines Landgutes oder Manufaktur, der in dem täglichen Durcheinander des Warenverkehrs die Regelmäßigkeiten – z.B. die Menge des eingebrachten Weizens – festzustellen hatte. Das ist auch heute noch die Aufgabe der Statistik: aus einer Menge zufallsbehafteter Daten sind die essentiellen Parameter – Mittelwert, Streuung und anderes – heraus zu analysieren und aufzubereiten. Die Stochastik dagegen wird in systematischer Weise erst seit dem 20. Jahrhundert betrieben. Ein Meilenstein war eine von Paul Langevin 1907 aufgestellte Differenzialgleichung, die die unter dem Mikroskop erkennbare Brownsche Bewegung zu beschreiben gestattet. Diese enthält eine stochastische Kraft, die durch die zufälligen Stöße der betrachteten Teilchen mit den Molekülen des Lösungsmittels entsteht. Die Stochastik ist also auf die zufälligen Einflüsse auf natürliche oder Modellsysteme gerichtet, der Zufall ist wesentlicher Bestandteil der Betrachtung. Auf unser obiges Beispiel bezogen, können wir also festhalten: Die Statistik liefert uns Aussagen über existierende Werte und ihre Verteilung, zum Beispiel die Abweichung vom Mittelwert, während die Stochastik Zufallsvariablen hinsichtlich ihrer Eigenschaften und ihrer Einflüsse auf messbare Werte untersucht.

Anmerkung: Die Feststellung „Bei 278 Würfen mit einem sechsseitigen Würfel erhielt ich 45 Einsen” ist eine statistische Aussage, „Ein sechsseitiger Laplace-Würfel liefert zu einem Sechstel Einsen” hingegen eine stochastische.

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