Variationen mit Wiederholung

Wir lassen nun zu, dass Elemente mehrfach gewählt werden dürfen und berücksichtigen wieder die Reihenfolge des Auswählens. Für das einführenden Beispiel entsteht folgendes Resultat.

$\mathit{n}=4$, $\mathit{i}=2$; Elemente sind $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$;

Auswahl- und Anordnungsmöglichkeiten:

$$\begin{array}{ll}& \mathit{a}\mathit{a}\mathit{a}\mathit{b}\mathit{b}\mathit{a}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{c}\mathit{a}\mathit{a}\mathit{d}\mathit{d}\mathit{a}\\ & \mathit{b}\mathit{b}\mathit{b}\mathit{c}\mathit{c}\mathit{b}\mathit{b}\mathit{d}\mathit{d}\mathit{b}\\ & \mathit{c}\mathit{c}\mathit{c}\mathit{d}\mathit{d}\mathit{c}\\ & \mathit{d}\mathit{d}\end{array}$$

Es gibt insgesamt 16 Variationen, ${\mathit{V}}_2(4)=16$.

Allgemein gilt, dass $\mathit{i}$ Plätze mit einer Auswahl aus $\mathit{n}$ Elementen besetzt werden, wobei jedes Element beliebig oft, aber maximal $\mathit{i}$ mal, vorkommen darf. Der erste Platz kann also auf $\mathit{n}$ Arten besetzt werden, der zweite ebenfalls usw.:

$${\overline{\mathit{V}}}_{\mathit{i}}(\mathit{n})=\underset{\underset{\mathit{i}\text{Faktoren}={\mathit{n}}^{\mathit{i}}}{︸}}{\mathit{n}\cdot \mathit{n}\cdot \mathit{n}\dots \cdot \mathit{n}}$$

Für obiges Beispiel erhalten wir:

$${\overline{\mathit{V}}}_2(4)=4^2=16$$

Beispiel

Das $\mathit{i}$-malige Werfen einer Münze ist die Besetzung von $\mathit{i}$ Plätzen mit einer Auswahl aus $\mathit{n}=2$ Elementen (Kopf und Zahl). Es gibt insgesamt ${\mathit{n}}^{\mathit{i}}=2^{\mathit{i}}$ Anordnungsmöglichkeiten, z.B. wäre eine Anordnung

$$\left. \begin{array}{llcc}& & \text{Kopf}& \text{Zahl}\\ \text{Wurf}1& & \text{x}& -\\ \text{Wurf}2& & \text{x}& -\\ \text{Wurf}3& & -& \text{x}\\ ⋮& & & \\ \text{Wurf}\mathit{i}& & \text{x}& -\end{array}\right\}=\mathit{K}\mathit{K}\mathit{Z}\dots \mathit{K}.$$

Beispiel

Der genetische Code besteht aus einem Alphabet von vier Buchstaben A, T, G und C. Wie viele Wörter aus drei Buchstaben sind möglich? Hier werden $\mathit{i}=3$ Plätze mit einer Auswahl aus $\mathit{n}=4$ Elementen besetzt, also gibt es ${\mathit{n}}^{\mathit{i}}=4^3=64$ mögliche Wörter:

$$\mathit{A}\mathit{T}\mathit{T},\mathit{A}\mathit{G}\mathit{C},\mathit{C}\mathit{C}\mathit{G},\dots$$