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Variationen

Variationen mit Wiederholung

Wir lassen nun zu, dass Elemente mehrfach gewählt werden dürfen und berücksichtigen wieder die Reihenfolge des Auswählens. Für das einführenden Beispiel entsteht folgendes Resultat.

n = 4 , i = 2 ; Elemente sind a , b , c , d ;

Auswahl- und Anordnungsmöglichkeiten:

a a a b b a a c c a a d d a b b b c c b b d d b c c c d d c d d

Es gibt insgesamt 16 Variationen, V 2 ( 4 ) = 16 .

Allgemein gilt, dass i Plätze mit einer Auswahl aus n Elementen besetzt werden, wobei jedes Element beliebig oft, aber maximal i mal, vorkommen darf. Der erste Platz kann also auf n Arten besetzt werden, der zweite ebenfalls usw.:

V ¯ i ( n ) = n n n n i Faktoren = n i

Für obiges Beispiel erhalten wir:

V ¯ 2 ( 4 ) = 4 2 = 16
Beispiel

Das i -malige Werfen einer Münze ist die Besetzung von i Plätzen mit einer Auswahl aus n = 2 Elementen (Kopf und Zahl). Es gibt insgesamt n i = 2 i Anordnungsmöglichkeiten, z.B. wäre eine Anordnung

Kopf Zahl Wurf 1 x - Wurf 2 x - Wurf 3 - x Wurf i x - = K K Z K .
Beispiel

Der genetische Code besteht aus einem Alphabet von vier Buchstaben A, T, G und C. Wie viele Wörter aus drei Buchstaben sind möglich? Hier werden i = 3 Plätze mit einer Auswahl aus n = 4 Elementen besetzt, also gibt es n i = 4 3 =64 mögliche Wörter:

A T T , A G C , C C G ,
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