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Variationen

Variationen ohne Wiederholung

Wir berücksichtigen hier sowohl Auswahl als auch Anordnung von Elementen aus einer endlichen Menge. Zur Verdeutlichung des Unterschiedes zu Kombinationen bzw. Permutationen betrachten wir ein Beispiel:

n = 4 , i = 2 ; Elemente sind a , b , c , d ;

Auswahl- und Anordnungsmöglichkeiten:

a b b a a c c a a d d a b c c b b d d b c d d c

Es gibt insgesamt 12 Variationen, V 2 ( 4 ) = 12 .

Für eine allgemeine Formel greifen wir zurück auf die Zahl der Kombinationen mit Wiederholungen, nur dass wir jetzt noch die Reihenfolge des Herausgreifens berücksichtigen müssen. Die i unterscheidbaren Elemente einer Kombination kann man auf i ! Weisen anordnen. Die Zahl der Variationen i -ter Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung ergibt sich also aus K i ( n ) durch Multiplikation mit dem Faktor i ! :

V i ( n ) = K i ( n ) i ! = n i i ! = n ! i ! ( n - i ) ! i ! = n ! ( n - i ) !

Auf das Beispiel bezogen erhält man

V 2 ( 4 ) = 4 ! 2 ! = 12 ,

wie das Abzählen bereits ergeben hat.

Hinweis
Die Zahl n ! / ( n - i ) ! wird häufig als P i n symbolisiert und ist die Anzahl der möglichen Anordnungen von i unterscheidbaren Elementen in n i Kästchen, wobei ein Kästchen von nicht mehr als einem Element besetzt werden darf. Für das erste Element stehen n Kästchen zur Auswahl, für das zweite nur noch ( n - 1 ) Kästchen. Für das i -te Element hat man ( n - i + 1 ) Auswahlmöglichkeiten:
P i n = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - i + 1 ) = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - i + 1 ) ( n - i ) 2 1 ( n - i ) 2 1 . = n ! ( n - i ) !
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