Variationen ohne Wiederholung

Wir berücksichtigen hier sowohl Auswahl als auch Anordnung von Elementen aus einer endlichen Menge. Zur Verdeutlichung des Unterschiedes zu Kombinationen bzw. Permutationen betrachten wir ein Beispiel:

$\mathit{n}=4$, $\mathit{i}=2$; Elemente sind $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$;

Auswahl- und Anordnungsmöglichkeiten:

$$\mathit{a}\mathit{b}\mathit{b}\mathit{a}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{c}\mathit{a}\mathit{a}\mathit{d}\mathit{d}\mathit{a}\mathit{b}\mathit{c}\mathit{c}\mathit{b}\mathit{b}\mathit{d}\mathit{d}\mathit{b}\mathit{c}\mathit{d}\mathit{d}\mathit{c}$$

Es gibt insgesamt 12 Variationen, ${\mathit{V}}_2(4)=12$.

Für eine allgemeine Formel greifen wir zurück auf die Zahl der Kombinationen mit Wiederholungen, nur dass wir jetzt noch die Reihenfolge des Herausgreifens berücksichtigen müssen. Die $\mathit{i}$ unterscheidbaren Elemente einer Kombination kann man auf $\mathit{i}!$ Weisen anordnen. Die Zahl der Variationen $\mathit{i}$-ter Ordnung von $\mathit{n}$ Elementen ohne Wiederholung ergibt sich also aus ${\mathit{K}}_{\mathit{i}}(\mathit{n})$ durch Multiplikation mit dem Faktor $\mathit{i}!$:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{V}}_{\mathit{i}}(\mathit{n})& =& {\mathit{K}}_{\mathit{i}}(\mathit{n})\cdot \mathit{i}!=\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{n}& \\ & \mathit{i}& \end{array}\right)\cdot \mathit{i}!=\frac{\mathit{n}!}{\mathit{i}!(\mathit{n}-\mathit{i})!}\cdot \mathit{i}!\\ & =& \frac{\mathit{n}!}{(\mathit{n}-\mathit{i})!}\end{array}$$

Auf das Beispiel bezogen erhält man

$${\mathit{V}}_2(4)=\frac{4!}{2!}=12,$$

wie das Abzählen bereits ergeben hat.

Hinweis

Die Zahl $\mathit{n}!/(\mathit{n}-\mathit{i})!$ wird häufig als ${\mathit{P}}_{\mathit{i}}^{\mathit{n}}$ symbolisiert und ist die Anzahl der möglichen Anordnungen von $\mathit{i}$ unterscheidbaren Elementen in $\mathit{n}\ge \mathit{i}$ Kästchen, wobei ein Kästchen von nicht mehr als einem Element besetzt werden darf. Für das erste Element stehen $\mathit{n}$ Kästchen zur Auswahl, für das zweite nur noch $(\mathit{n}-1)$ Kästchen. Für das $\mathit{i}$-te Element hat man $(\mathit{n}-\mathit{i}+1)$ Auswahlmöglichkeiten:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{P}}_{\mathit{i}}^{\mathit{n}}& =& \mathit{n}\cdot (\mathit{n}-1)\cdot (\mathit{n}-2)\dots (\mathit{n}-\mathit{i}+1)\\ & =& \frac{\mathit{n}\cdot (\mathit{n}-1)\cdot (\mathit{n}-2)\dots (\mathit{n}-\mathit{i}+1)(\mathit{n}-\mathit{i})\dots 2\cdot 1}{(\mathit{n}-\mathit{i})\dots 2\cdot 1}.\\ & =& \frac{\mathit{n}!}{(\mathit{n}-\mathit{i})!}\end{array}$$