Kombinationen mit Wiederholung

Wir lassen im Folgenden zu, dass jedes Element beliebig oft, aber höchstens $\mathit{i}$-mal ausgewählt werden darf. Um zu sehen, wie hoch die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung ${\overline{\mathit{K}}}_{\mathit{i}}(\mathit{n})$ ist, betrachten wir unser vorheriges Beispiel noch einmal:

$\mathit{n}=4,\mathit{i}=2$; Elemente= $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$;

Auswahlmöglichkeiten:

$$\mathit{a}\mathit{b}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{a}\mathit{d}\mathit{b}\mathit{c}\mathit{b}\mathit{d}\mathit{c}\mathit{d}\mathit{a}\mathit{a}\mathit{b}\mathit{b}\mathit{c}\mathit{c}\mathit{d}\mathit{d}$$

Es gibt insgesamt 10 Kombinationen, ${\overline{\mathit{K}}}_2(4)=10$.

Wie lautet nun allgemein die Zahl der Kombinationen von $\mathit{i}$ aus $\mathit{n}$ Elementen, wenn sich die Elemente (höchstens $\mathit{i}$-mal) wiederholen können? Um diese Frage zu beantworten, wählen wir eine andere Formulierung. Die Elemente $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$ entsprechen nun den Eigenschaften ${\mathit{E}}_{\mathit{j}}=1,\dots ,\mathit{J}$ mit $\mathit{J}=4$, die von $\mathit{N}=2$ ununterscheidbaren Teilchen angenommen werden können. Wir zeichnen wieder ein Niveau-Diagramm, in dem jeder Strich eine Eigenschaft ${\mathit{E}}_{\mathit{j}}$ symbolisiert und die Skala links den Wert ${\mathit{E}}_{\mathit{j}}$ angibt:

Rechts stehen die Besetzungszahlen ${\mathit{N}}_{\mathit{j}}$ d.h. wie viele Teilchen den Wert ${\mathit{E}}_{\mathit{j}}$ besitzen. Die Kreuze bzw. Kreise entsprechen den beiden Fällen $\mathit{a}\mathit{c}$ bzw. $\mathit{b}\mathit{b}$. Nun bezeichnen wir den freien Platz zwischen zwei Niveaus mit $\mathit{z}$ und geben jedem der $\mathit{N}$ ununterscheidbaren Teilchen das Symbol $\mathit{t}$. Jede gewählte Art der Verteilung der 2 Teilchen auf die 4 Niveaus kann dann horizontal wie folgt geschrieben werden

$$\underset{\underset{{\mathit{N}}_1\mathit{t}\text{'s}}{︸}}{\mathit{t}\mathit{t}\dots \mathit{t}}\mathit{z}\underset{\underset{{\mathit{N}}_2\mathit{t}\text{'s}}{︸}}{\mathit{t}\mathit{t}\dots \mathit{t}}\mathit{z}\underset{\underset{{\mathit{N}}_3\mathit{t}\text{'s}}{︸}}{\mathit{t}\mathit{t}\dots \mathit{t}}\mathit{z}\underset{\underset{{\mathit{N}}_4\mathit{t}\text{'s}}{︸}}{\mathit{t}\mathit{t}\dots \mathit{t}},$$

(die Zeichenfolge $\mathit{t}\mathit{t}\dots \mathit{t}$ kann in diesem Fall $\mathit{t}\mathit{t}$, $\mathit{t}$ oder leer sein (keine $\mathit{t}$' s)) also

$$\begin{array}{ll}\text{Fall I}& \mathit{a}\mathit{c}=\mathit{t}\mathit{z}\mathit{z}\mathit{t}\mathit{z}\\ \text{Fall II}& \mathit{b}\mathit{b}=\mathit{z}\mathit{t}\mathit{t}\mathit{z}\mathit{z}\text{.}\end{array}$$

Die gezeigten Sequenzen $\mathit{t}\mathit{t}\dots \mathit{z}\dots$ sind nichts anderes als Permutationen mit Wiederholungen, und zwar von $\mathit{J}-1=3$ gleichen Elementen $\mathit{z}$ und $\mathit{N}=2$ gleichen Elementen $\mathit{t}$, also insgesamt $\mathit{N}+\mathit{J}-1=5$ zu permutierenden Elementen. Also gilt

$${\mathit{P}}_{\mathit{N},\mathit{J}-1}(\mathit{N}+\mathit{J}-1)=\frac{\mathit{N}+\mathit{J}-1!}{\mathit{N}!(\mathit{J}-1)!}=\frac{5!}{2!3!}=10\text{.}$$

Für die Zahl der Kombinationen von $\mathit{i}=2$ aus $\mathit{n}=4$ Elementen $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$ mit Wiederholung gilt demgemäß

$${\overline{\mathit{K}}}_2(4)={\mathit{P}}_{2,3}(5)=\frac{5}{2!3!}=10$$

oder allgemein

$${\overline{\mathit{K}}}_{\mathit{i}}(\mathit{n})={\mathit{P}}_{\mathit{i},\mathit{n}-1}(\mathit{n}-1+\mathit{i})=\frac{(\mathit{n}+\mathit{i}-1)!}{\mathit{i}!\cdot (\mathit{n}-1)!}=\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{n}+\mathit{i}-1& \\ & \mathit{i}& \end{array}\right)\text{.}$$

Kombinationen mit Wiederholungen spielen bei der Beschreibung von Systemen mit vielen Photonen eine Rolle (Bose-Einstein-Statistik).