Kombinationen
Kombinationen mit Wiederholung
Wir lassen im Folgenden zu, dass jedes Element beliebig oft, aber höchstens -mal ausgewählt werden darf. Um zu sehen, wie hoch die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung ist, betrachten wir unser vorheriges Beispiel noch einmal:
; Elemente= ;
Auswahlmöglichkeiten:
Es gibt insgesamt 10 Kombinationen, .
Wie lautet nun allgemein die Zahl der Kombinationen von aus Elementen, wenn sich die Elemente (höchstens -mal) wiederholen können? Um diese Frage zu beantworten, wählen wir eine andere Formulierung. Die Elemente entsprechen nun den Eigenschaften mit , die von ununterscheidbaren Teilchen angenommen werden können. Wir zeichnen wieder ein Niveau-Diagramm, in dem jeder Strich eine Eigenschaft symbolisiert und die Skala links den Wert angibt:
Rechts stehen die Besetzungszahlen d.h. wie viele Teilchen den Wert besitzen. Die Kreuze bzw. Kreise entsprechen den beiden Fällen bzw. . Nun bezeichnen wir den freien Platz zwischen zwei Niveaus mit und geben jedem der ununterscheidbaren Teilchen das Symbol . Jede gewählte Art der Verteilung der 2 Teilchen auf die 4 Niveaus kann dann horizontal wie folgt geschrieben werden
(die Zeichenfolge kann in diesem Fall , oder leer sein (keine ' s)) also
Die gezeigten Sequenzen sind nichts anderes als Permutationen mit Wiederholungen, und zwar von gleichen Elementen und gleichen Elementen , also insgesamt zu permutierenden Elementen. Also gilt
Für die Zahl der Kombinationen von aus Elementen mit Wiederholung gilt demgemäß
oder allgemein
Kombinationen mit Wiederholungen spielen bei der Beschreibung von Systemen mit vielen Photonen eine Rolle (Bose-Einstein-Statistik).