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Kombinationen

Kombinationen mit Wiederholung

Wir lassen im Folgenden zu, dass jedes Element beliebig oft, aber höchstens i -mal ausgewählt werden darf. Um zu sehen, wie hoch die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung K ¯ i ( n ) ist, betrachten wir unser vorheriges Beispiel noch einmal:

n = 4 , i = 2 ; Elemente= a , b , c , d ;

Auswahlmöglichkeiten:

a b a c a d b c b d c d a a b b c c d d

Es gibt insgesamt 10 Kombinationen, K ¯ 2 ( 4 ) = 10 .

Wie lautet nun allgemein die Zahl der Kombinationen von i aus n Elementen, wenn sich die Elemente (höchstens i -mal) wiederholen können? Um diese Frage zu beantworten, wählen wir eine andere Formulierung. Die Elemente a , b , c , d entsprechen nun den Eigenschaften E j = 1 , , J mit J = 4 , die von N = 2 ununterscheidbaren Teilchen angenommen werden können. Wir zeichnen wieder ein Niveau-Diagramm, in dem jeder Strich eine Eigenschaft E j symbolisiert und die Skala links den Wert E j angibt:

Abb.1
Niveau-Diagramm

Rechts stehen die Besetzungszahlen N j d.h. wie viele Teilchen den Wert E j besitzen. Die Kreuze bzw. Kreise entsprechen den beiden Fällen a c bzw. b b . Nun bezeichnen wir den freien Platz zwischen zwei Niveaus mit z und geben jedem der N ununterscheidbaren Teilchen das Symbol t . Jede gewählte Art der Verteilung der 2 Teilchen auf die 4 Niveaus kann dann horizontal wie folgt geschrieben werden

t t t N 1 t 's z t t t N 2 t 's z t t t N 3 t 's z t t t N 4 t 's ,

(die Zeichenfolge t t t kann in diesem Fall t t , t oder leer sein (keine t ' s)) also

Fall I a c = t z z t z Fall II b b = z t t z z .

Die gezeigten Sequenzen t t z sind nichts anderes als Permutationen mit Wiederholungen, und zwar von J - 1 = 3 gleichen Elementen z und N = 2 gleichen Elementen t , also insgesamt N + J - 1 = 5 zu permutierenden Elementen. Also gilt

P N , J - 1 ( N + J - 1 ) = N + J - 1 ! N ! ( J - 1 ) ! = 5 ! 2 ! 3 ! = 10 .

Für die Zahl der Kombinationen von i = 2 aus n = 4 Elementen a , b , c , d mit Wiederholung gilt demgemäß

K ¯ 2 ( 4 ) = P 2 , 3 ( 5 ) = 5 2 ! 3 ! = 10

oder allgemein

K ¯ i ( n ) = P i , n - 1 ( n - 1 + i ) = ( n + i - 1 ) ! i ! ( n - 1 ) ! = n + i - 1 i .

Kombinationen mit Wiederholungen spielen bei der Beschreibung von Systemen mit vielen Photonen eine Rolle (Bose-Einstein-Statistik).

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