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Kombinationen

Kombinationen ohne Wiederholung

Wir betrachten eine Menge von n unterscheidbaren Elementen und fragen: Auf wie viele Arten kann man i Elemente i n aus den n gegebenen auswählen (als Kombination i -ter Ordnung bekannt), wenn die Reihenfolge beim Auswählen keine Rolle spielt und ein Element nur einmal ausgewählt werden darf?

Beispiel: n = 4 , i = 2 ; Elemente= a , b , c , d ;

Auswahlmöglichkeiten:

a b a c a d b c b d c d

Es gibt insgesamt 6 Kombinationen, K 2 ( 4 ) = 6 .

Die allgemeine Formel für die Anzahl der Kombinationen ergibt sich wie folgt: Wir unterscheiden zunächst zwischen den i gewählten und den n - i nicht gewählten Elementen. Im Sinne der Erläuterungen unter Permutationen mit Wiederholungen liegt hier also der Fall von N = n unterscheidbaren Teilchen a , b , c , d vor, von denen N 1 = i die Eigenschaft E 1 = „ausgewählt” und N 2 = N - N 1 die Eigenschaft E 2 = „nicht ausgewählt” besitzen.

Abb.1
Auswahlmöglichkeiten von 2 Teilchen aus 4: E 1 = „ausgewählt” und E 2 = „nicht ausgewählt”

Die Zahl der Kombinationen i -ter Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung ergibt sich demnach folgendermaßen:

K i ( n ) = P i , n - i ( n ) = n ! i ! ( n - i ) ! = n i = n n - i

oder

K N 1 ( N ) = P N 1 , N - N 1 = P N 1 , N 2 = N ! N 1 ! N 2 ! .

Der Ausdruck C i n = n i heißt Binomialkoeffizient (lies: n über i ).

Für das Beispiel ergibt die Formel

K 2 ( 4 ) = 4 2 = 4 ! 2 ! 2 ! = 1 2 3 4 1 2 1 2 = 6.

Auch die Kombination ohne Wiederholung ist mit einem wichtigen chemischen Beispiel verbunden. Wieder betrachten wir N Teilchen, die die Werte E i , i = 1 , , I annehmen können. Allerdings sind nun die Teilchen nicht unterscheidbar, die Zahl I ist größer als die Teilchenzahl N und jeder Wert E i darf nur einmal auftreten. Hier sind es jetzt die unterscheidbaren Werte E i , von denen gerade N ausgewählt (da ja jedes Teilchen einen Wert E i annimmt!) und I - N nicht ausgewählt sind. Die Zahl der Auswahlmöglichkeiten ist also

K N ( I ) = I ! N ! ( I - N ) ! .

Diese Formel spielt bei der Beschreibung von Systemen mit vielen Elektronen eine Rolle (Fermi-Dirac-Statistik!).

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