Kombinationen ohne Wiederholung

Wir betrachten eine Menge von $\mathit{n}$ unterscheidbaren Elementen und fragen: Auf wie viele Arten kann man $\mathit{i}$ Elemente $\mathit{i}\le \mathit{n}$ aus den $\mathit{n}$ gegebenen auswählen (als Kombination $\mathit{i}$-ter Ordnung bekannt), wenn die Reihenfolge beim Auswählen keine Rolle spielt und ein Element nur einmal ausgewählt werden darf?

Beispiel: $\mathit{n}=4$, $\mathit{i}=2$; Elemente= $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$;

Auswahlmöglichkeiten:

$$\mathit{a}\mathit{b}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{a}\mathit{d}\mathit{b}\mathit{c}\mathit{b}\mathit{d}\mathit{c}\mathit{d}$$

Es gibt insgesamt 6 Kombinationen, ${\mathit{K}}_2(4)=6$.

Die allgemeine Formel für die Anzahl der Kombinationen ergibt sich wie folgt: Wir unterscheiden zunächst zwischen den $\mathit{i}$ gewählten und den $\mathit{n}-\mathit{i}$ nicht gewählten Elementen. Im Sinne der Erläuterungen unter Permutationen mit Wiederholungen liegt hier also der Fall von $\mathit{N}=\mathit{n}$ unterscheidbaren Teilchen $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$ vor, von denen ${\mathit{N}}_1=\mathit{i}$ die Eigenschaft ${\mathit{E}}_1=$„ausgewählt” und ${\mathit{N}}_2=\mathit{N}-{\mathit{N}}_1$ die Eigenschaft ${\mathit{E}}_2=$„nicht ausgewählt” besitzen.

Die Zahl der Kombinationen $\mathit{i}$-ter Ordnung von $\mathit{n}$ Elementen ohne Wiederholung ergibt sich demnach folgendermaßen:

$${\mathit{K}}_{\mathit{i}}(\mathit{n})={\mathit{P}}_{\mathit{i},\mathit{n}-\mathit{i}}(\mathit{n})=\frac{\mathit{n}!}{\mathit{i}!(\mathit{n}-\mathit{i})!}=\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{n}& \\ & \mathit{i}& \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{n}& \\ & \mathit{n}-\mathit{i}& \end{array}\right)$$

oder

$${\mathit{K}}_{{\mathit{N}}_1}(\mathit{N})={\mathit{P}}_{{\mathit{N}}_1,\mathit{N}-{\mathit{N}}_1}={\mathit{P}}_{{\mathit{N}}_1,{\mathit{N}}_2}=\frac{\mathit{N}!}{{\mathit{N}}_1!{\mathit{N}}_2!}.$$

Der Ausdruck ${\mathit{C}}_{\mathit{i}}^{\mathit{n}}=\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{n}& \\ & \mathit{i}& \end{array}\right)$ heißt Binomialkoeffizient (lies: $\mathit{n}$ über $\mathit{i}$).

Für das Beispiel ergibt die Formel

$${\mathit{K}}_2(4)=\left(\begin{array}{rcl}& 4& \\ & 2& \end{array}\right)=\frac{4!}{2!2!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}=6.$$

Auch die Kombination ohne Wiederholung ist mit einem wichtigen chemischen Beispiel verbunden. Wieder betrachten wir $\mathit{N}$ Teilchen, die die Werte ${\mathit{E}}_{\mathit{i}},\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{I}$ annehmen können. Allerdings sind nun die Teilchen nicht unterscheidbar, die Zahl $\mathit{I}$ ist größer als die Teilchenzahl $\mathit{N}$ und jeder Wert ${\mathit{E}}_{\mathit{i}}$ darf nur einmal auftreten. Hier sind es jetzt die unterscheidbaren Werte ${\mathit{E}}_{\mathit{i}}$, von denen gerade $\mathit{N}$ ausgewählt (da ja jedes Teilchen einen Wert ${\mathit{E}}_{\mathit{i}}$ annimmt!) und $\mathit{I}-\mathit{N}$ nicht ausgewählt sind. Die Zahl der Auswahlmöglichkeiten ist also

$${\mathit{K}}_{\mathit{N}}(\mathit{I})=\frac{\mathit{I}!}{\mathit{N}!\cdot (\mathit{I}-\mathit{N})!}.$$

Diese Formel spielt bei der Beschreibung von Systemen mit vielen Elektronen eine Rolle (Fermi-Dirac-Statistik!).