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Permutationen

Permutation mit Wiederholung

Sind von den n Elementen m nicht unterscheidbar, so resultieren, wie die folgenden Beispiele verdeutlichen, weniger als n ! Anordnungsmöglichkeiten:

I. n = 3 ; Elemente= a , a , c .

Permutationen:

a a c a c a c a a .

Von den n = 3 ! = 6 Permutationen bei unterscheidbaren Elementen a , b , c verbleiben nur 3 , da die 2( = 2 !) Vertauschungen a b und b a für b ersetzt durch a nicht mehr unterscheidbar sind. Es gilt 6 = 3 2 ! .

II. n = 4 ; Elemente= a , a , a , d .

Permutationen:

a a a d a a d a a d a a d a a a .

Von den n ! = 4 ! = 24 Permutationen bei unterscheidbaren Elementen a , b , c , d verbleiben nur 4 , da die 6( = 3 !) Vertauschungen

a b c c a b b c a b a c c b a a c b

für b und c ersetzt durch a nicht mehr unterscheidbar sind. Es gilt 24 = 4 3 ! . Für die Zahl der Permutationen für n 1 gleiche der n gesamten Elemente führen wir das Symbol P n 1 ( n ) ein. Die beiden Beispiele zeigen, dass dann gilt

P ( 3 ) = P 2 ( 3 ) 2 ! = 3 ! P ( 4 ) = P 3 ( 4 ) 3 ! = 4 !

oder allgemein

P ( n ) = P n 1 ( n ) n 1 ! .

Demgemäß gilt für die Zahl der Permutationen P n 1 ( n ) mit n 1 gleichen (oder wiederholten) der gesamten n Elemente

P n 1 ( n ) = P ( n ) n 1 ! = n ! n 1 ! .

Unsere Betrachtungen lassen sich leicht auf den Fall erweitern, dass mehrere Gruppen gleicher Elemente existieren. Auch hier zunächst ein Beispiel:

n = 4 ; Elemente= a , a , b , b .

Permutationen:

a a b b a b b a a b a b b b a a b a a b b a b a .

Die zwei nicht unterscheidbaren a ' s ergeben ebenso wie die b 's 2 ! nichtunterscheidbare Permutationen. Demnach enthält die Gesamtzahl aller Anordnungen (also 4 ! = 24 ) 2 ! 2 ! identische Anordnungen die nicht mitgezählt werden dürfen. Wir erhalten entsprechend

P 2 , 2 ( 4 ) = 4 ! 2 ! 2 ! = 1 2 3 4 1 2 1 2 = 6 ,

wobei P nun den Doppelindex 2 , 2 trägt. Allgemein ergibt sich für n Elemente, die r Gruppen mit jeweils n i nicht unterscheidbaren Elementen enthalten, die Anzahl der Permutationen als

P n 1 , n 2 , , n r ( n ) = n ! i = 1 r n i ! ,

mit der Bedingung i = 1 r n i = n .

Eine chemisch wichtige Fragestellung ist mit den Erläuterungen hier verwandt. Wir betrachten N Teilchen, die einen der Werte E 1 , E 2 , , E I einer bestimmten Eigenschaft annehmen können (z.B. absolute Geschwindigkeit von Gasteilchen in den Bereichen [ 0 , Δ v ) , [ Δ v , 2 Δ v ) , [ 2 Δ v , 3 Δ v ) oder Energieniveaus, usw.).   a a und b b im obigen Beispiel entsprechen dann hier 2 Teilchen mit dem Wert E 1 bzw. E 2 . Sind die Teilchen unterscheidbar (also nummerierbar mit den Bezeichnungen 1, 2, 3 und 4 gedacht), dann entstehen entsprechend den obigen 6 Anordnungen hier:

a a b b Teilchen 1 in E 1 , 2 in E 1 , 3 in E 2 , 4 in E 2 a b b a Teilchen 1 in E 1 , 2 in E 2 , 3 in E 2 , 4 in E 1 usw.
Abb.1
Verteilung von 4 unterscheidbaren Teilchen über zwei Niveaus

Ein zweiter wichtiger Fall betrifft die Zahl chemischer Strukturisomere. Wir betrachten als Beispiel die Strukturisomeren des Moleküls

Abb.2
Molekül

Sie entstehen durch verschiedene Anordnungen der vier Einfach- ( = a ) und drei Doppelbindungen ( = b ) auf die insgesamt sieben C-C-Bindungen (unter entsprechender Verschiebung der H-Atome!). In der a , b -Notierung entspricht das gezeichnete Isomer a a b b b a a . Es resultiert

Zahl der Isomere = 7 ! 4 ! 3 ! = 35.

Dieses mathematische Ergebnis bedeutet natürlich nicht, dass alle Isomere tatsächlich existieren können.

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