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Permutationen

Permutation ohne Wiederholung

Wir betrachten die Menge von n unterscheidbaren Elementen und stellen die Frage: Wie viele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten gibt es, wenn diese n Elemente in einer Reihe nebeneinander angeordnet werden?

Zunächst ein Beispiel: n = 3 ; Elemente= a , b , c .

Anordnungsmöglichkeiten:

a b c b c a c a b b a c a c b c b a .

Zahl der Anordnungsmöglichkeiten: 6 .

Die Zahl der Anordnungsmöglichkeiten wird auch als Zahl P der Permutationen bezeichnet. Es gibt also 6 mögliche Permutationen für 3 unterscheidbare Elemente. Wir notieren dies kurz mit P ( 3 ) = 6 .

Allgemein gilt: Für das erste Element stehen n Reihenplätze zur Auswahl, für das zweite nur noch ( n - 1 ) Plätze, da einer bereits besetzt ist. Für das i -te Element hat man noch ( n - i + 1 ) Auswahlmöglichkeiten, für das n -te also nur noch eine:

P ( n ) = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - i + 1 ) 2 1 = n !

Die Zahl n ! wird als n -Fakultät gelesen. Permutationen kann man in gerade und ungerade Permutationen einteilen. Eine gerade Permutation liegt vor, wenn die Anordnung durch eine gerade Anzahl an Vertauschungen benachbarter Elemente aus der ursprünglichen Anordnung entsteht, also:

a b c b a c b c a 2 Vertauschungen a b c a c b c a b 2 Vertauschungen .

Entsprechend liegt eine ungerade Permutation vor, wenn die Anzahl an Vertauschungen ungerade ist:

a b c b a c 1 Vertauschung a b c a c b 1 Vertauschung .

Dementsprechend sind die ersten drei Permutationen des obigen Beispiels gerade, die letzten drei hingegen ungerade.

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