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Permutationen

Was ist Kombinatorik?

Die 92 natürlichen chemischen Elemente sind die mathematischen „Elemente” der Menge „chemisches Periodensystem”. Ebenso sind die zehn Ziffern 0 - 9 eine Menge, jede Ziffer entspricht einem Element. Die kleinen Buchstaben a, b, c,..., x, y, z schließlich bilden die Elemente der Menge des Alphabets. Elemente einer Menge können nach bestimmten Regeln zusammengestellt oder kombiniert werden; die Resultate bilden die Elemente einer neuen Menge. Dies begründet die Lehre von der Kombinatorik. Gemäß der Art der Elementzusammenstellung unterscheiden wir:

  • Permutation: Anordnung aller Elemente einer Menge.
  • Kombination: Auswahl von einigen aus vielen Elementen.
  • Variation: Auswahl und Anordnung.

Zu unterscheiden ist auch, ob ein Element ein einziges Mal bzw. mehrere Male auftreten kann; hier spricht man von Permutationen oder Kombinationen ohne (Ziehen ohne Zurücklegen) bzw. mit (Ziehen mit Zurücklegen) Wiederholungen.

Die Aufgabe der Kombinatorik ist es, die Anzahl der unterschiedlichen Auswahl- und Anordnungsmöglichkeiten zu ermitteln. Die verschiedenen Fälle sind in den nachfolgenden Tabellen zusammengefasst.

Tab.1
Permutationen aus n Elementen
ArtZahl der Anordnungsmöglichkeiten
Permutation ohne Wiederholung P ( n ) = n !
Permutation mit Wiederholung für r Gruppen identischer Elemente P n 1 , n 2 , , n r ( n ) = n ! n 1 ! n 2 ! n r !
Tab.2
Kombinationen von i aus n Elementen
ArtZahl der Anordnungsmöglichkeiten
Kombination ohne Wiederholung K i ( n ) = P i , n - i ( n ) = n ! i ! ( n - i ) !
Kombination mit Wiederholung K ¯ i ( n ) = P i , n - 1 ( n + i - 1 ) = ( n + i - 1 ) ! i ! ( n - 1 ) !
Variation ohne Wiederholung V i ( n ) = n ! ( n - i ) !
Variation mit Wiederholung V ¯ i ( n ) = n i
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