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Dreifachintegrale

Berechnung des Dreifachintegrals

Die Berechnung des Dreifachintegrals lässt sich auf drei gewöhnliche Integrale zurückführen.

I = B f ( x , y , z ) d x d y d z = a b φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) ψ 1 ( x , y ) ψ 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d y d x

Ausgehend von einem Raumelement d x d y d z setzt man das Integral Schritt für Schritt in drei Phasen zusammen:

  1. Innerstes Integral g ( x , y ) = ψ 1 ( x , y ) ψ 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z Hier summiert man f ( x , y , z ) d z längs einer zur z -Achse parallelen Säule mit infinitesimal kleinen Querschnittsflächen d x d y zwischen der Bodenfläche z = ψ 1 ( x , y ) und der Deckelfläche z = ψ 2 ( x , y ) .
  2. Mittleres Integral h ( x ) = φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) g ( x , y ) d y Hier summiert man g ( x , y ) d y längs einer zur y , z -Ebene parallelen Scheibe mit infinitesimal kleinen Breiten d x zwischen der Randkurven y = φ 1 ( x ) und y = φ 2 ( x ) .
  3. Äußeres Integral I = a b h ( x ) d x Hier summiert man die Scheibenelemente h ( x ) d x zwischen x = a und x = b , um den Körper B vollständig auszufüllen.
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