Dreifachintegrale

Ein Dreifachintegral lässt sich für eine Funktion $\mathit{w}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z})$ von drei unabhängigen Variablen definieren. Man zerlegt einen räumlichen Bereich $\mathit{B}$ (auch Körper genannt) in $\mathit{M}\cdot \mathit{N}\cdot \mathit{P}$ kleine Teilbereiche $\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}\Delta \mathit{z}$ mit Koordinaten $({\mathit{x}}_{\mathit{m}},{\mathit{y}}_{\mathit{n}},{\mathit{z}}_{\mathit{p}})$, bildet das Produkt aus Funktionswert und Volumen $\mathit{f}({\mathit{x}}_{\mathit{m}},{\mathit{y}}_{\mathit{n}},{\mathit{z}}_{\mathit{p}})\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}\Delta \mathit{z}$, summiert dann diese Produkte und lässt schließlich die Anzahl der Teilbereiche unbegrenzt wachsen, wobei die Volumina gegen Null gehen. Der dadurch erhaltene Grenzwert ist das dreidimensionale Bereichsintegral oder Dreifachintegral

$$\underset{\mathit{M}\to \infty }{lim}\underset{\mathit{N}\to \infty }{lim}\underset{\mathit{P}\to \infty }{lim}\sum _{\mathit{m}=0}^{\mathit{M}-1}\sum _{\mathit{n}=0}^{\mathit{N}-1}\sum _{\mathit{p}=0}^{\mathit{P}-1}\mathit{f}({\mathit{x}}_{\mathit{m}},{\mathit{y}}_{\mathit{n}},{\mathit{z}}_{\mathit{p}})\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}\Delta \mathit{z}=\underset{\mathit{B}}{\iiint }\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z})\text{d}\mathit{x}\text{d}\mathit{y}\text{d}\mathit{z}$$

Der Begriff des Dreifachintegrals hat keine geometrische Deutung. Setzt man jedoch $\mathit{w}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z})=1$, so ergibt das Dreifachintegral das Volumen des räumlichen Bereichs $\mathit{B}$

$$\mathit{V}=\underset{\mathit{B}}{\iiint }\text{d}\mathit{x}\text{d}\mathit{y}\text{d}\mathit{z}.$$

Für einen rechteckigen räumlichen Bereich $\mathit{B}:\mathit{a}\le \mathit{x}\le \mathit{b},\mathit{c}\le \mathit{y}\le \mathit{d},\mathit{e}\le \mathit{z}\le \mathit{f}$ (Quader) ist das Volumen ein Produkt dreier gewöhnlicher Integrale:

$$\mathit{V}=\underset{\mathit{B}}{\iiint }\text{d}\mathit{x}\text{d}\mathit{y}\text{d}\mathit{z}=\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\text{d}\mathit{x}\underset{\mathit{c}}{\overset{\mathit{d}}{\int }}\text{d}\mathit{y}\underset{\mathit{e}}{\overset{\mathit{f}}{\int }}\text{d}\mathit{z}=(\mathit{b}-\mathit{a})\cdot (\mathit{d}-\mathit{c})\cdot (\mathit{f}-\mathit{e}).$$