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Dreifachintegrale

Dreifachintegrale

Ein Dreifachintegral lässt sich für eine Funktion w = f ( x , y , z ) von drei unabhängigen Variablen definieren. Man zerlegt einen räumlichen Bereich B (auch Körper genannt) in M N P kleine Teilbereiche Δ x Δ y Δ z mit Koordinaten ( x m , y n , z p ) , bildet das Produkt aus Funktionswert und Volumen f ( x m , y n , z p ) Δ x Δ y Δ z , summiert dann diese Produkte und lässt schließlich die Anzahl der Teilbereiche unbegrenzt wachsen, wobei die Volumina gegen Null gehen. Der dadurch erhaltene Grenzwert ist das dreidimensionale Bereichsintegral oder Dreifachintegral

lim M lim N lim P m = 0 M -1 n = 0 N -1 p = 0 P -1 f ( x m , y n , z p ) Δ x Δ y Δ z = B f ( x , y , z ) d x d y d z

Der Begriff des Dreifachintegrals hat keine geometrische Deutung. Setzt man jedoch w = f ( x , y , z ) = 1 , so ergibt das Dreifachintegral das Volumen des räumlichen Bereichs B

V = B d x d y d z .

Für einen rechteckigen räumlichen Bereich B : a x b , c y d , e z f (Quader) ist das Volumen ein Produkt dreier gewöhnlicher Integrale:

V = B d x d y d z = a b d x c d d y e f d z = ( b - a ) ( d - c ) ( f - e ) .

Beispiel

Sei ρ ( x , y , z ) die Dichte eines Stoffes in einem Gefäß. Die Masse eines kleinen Volumenelements mit Koordinaten ( x , y , z ) ist

Δ m = ρ ( x , y , z ) Δ x Δ y Δ z

Die Gesamtmasse des Bereiches ist dann

M = B ρ ( x , y , z ) d x d y d z .

Ist ρ ( x , y , z ) = ρ 0 konstant, dann ist

M = ρ 0 B d x d y d z = ρ 0 V .
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