Dreifachintegrale
Dreifachintegrale
Ein Dreifachintegral lässt sich für eine Funktion von drei unabhängigen Variablen definieren. Man zerlegt einen räumlichen Bereich (auch Körper genannt) in kleine Teilbereiche mit Koordinaten , bildet das Produkt aus Funktionswert und Volumen , summiert dann diese Produkte und lässt schließlich die Anzahl der Teilbereiche unbegrenzt wachsen, wobei die Volumina gegen Null gehen. Der dadurch erhaltene Grenzwert ist das dreidimensionale Bereichsintegral oder Dreifachintegral
Der Begriff des Dreifachintegrals hat keine geometrische Deutung. Setzt man jedoch , so ergibt das Dreifachintegral das Volumen des räumlichen Bereichs
Für einen rechteckigen räumlichen Bereich (Quader) ist das Volumen ein Produkt dreier gewöhnlicher Integrale:
Beispiel
Sei die Dichte eines Stoffes in einem Gefäß. Die Masse eines kleinen Volumenelements mit Koordinaten ist
Die Gesamtmasse des Bereiches ist dann
Ist konstant, dann ist