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Transformation der Variablen bei zweidimensionalen Bereichsintegralen

Beispiel: Integration der Gauß´schen Glockenkurve

Gesucht ist der Flächeninhalt A unter der Kurve

f ( x ) = e - α x 2

für 0 x < . A ist durch ein gewöhnliches Integral gegeben, das sich nicht ohne weiteres berechnen lässt

A = 0 e - α x 2 d x .

Führt man jedoch das gleiche Integral mit y anstelle x als Integrationsvariable ein

A = 0 e - α y 2 d y ,

und multipliziert beide, so erhält man

A 2 = I = 0 e - α x 2 d x 0 e - α y 2 d y .

Das Produkt f ( x ) f ( y ) lässt sich als eine Funktion zweier Veränderlicher

G ( x , y ) = f ( x ) f ( y ) = e - α ( x 2 + y 2 ) = g ( x 2 + y 2 )

definieren. Nun ist I ein zweidimensionales Bereichsintegral über den ersten Quadranten B : 0 x < , 0 y <

I = B e - α ( x 2 + y 2 ) d x d y .

In Polarkoordinaten ist dieses Integral leicht zu berechnen.

I = B g ( x 2 + y 2 ) d x d y B : Rechteck 0 x < , 0 y < I = B ' g ( r 2 ) r d r d φ B ' : Rechteck 0 r < , 0 φ π / 2 .

Somit ist

I = 0 π / 2 0 e - α r 2 r d r d φ = 0 π / 2 d φ 0 e - α r 2 r d r I = π 2 0 e - α r 2 r d r .

Nach der Substitution u = α r 2 , d u = 2 α r d r erhält man

I = π 4 α 0 e - u d u = π 4 α - e - u 0 I = π 4 α  .

Das gesuchte Integral ist

A = I = 0 e - α x 2 d x = 1 2 π α  .
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