zum Directory-modus

Transformation der Variablen bei zweidimensionalen Bereichsintegralen

Allgemeines zur Variablentransformation

Wir betrachten das Bereichsintegral

I = B f ( x , y ) d x d y ,

und wandeln die Koordinaten folgendermaßen um:

u = φ 1 ( x , y )  , v = φ 2 ( x , y ) .

Der Integrationsbereich B auf der x , y -Ebene wurde in den entsprechenden Bereich B ' auf der u , v -Ebene umgewandelt. Wir setzen voraus, dass diese Transformation umkehrbar ist:

x = ψ 1 ( u , v )  , y = ψ 2 ( u , v ) .

Gemäß der Definition des zweidimesionalen Bereichsintegrals

I = lim M lim N m = 0 M -1 n = 0 N -1 f ( x m , y n ) Δ x Δ y

ist die Doppelsumme in den transformierten Koordinaten gegeben durch

m = 0 M -1 n = 0 N -1 f ( ψ 1 ( u m , v n ) , ψ 2 ( u m , v n ) ) Δ x Δ y Δ u Δ v Δ u Δ v

Die Größe Δ x Δ y Δ u Δ v gibt das Verhältnis des Flächeninhaltes Δ A eines Flächenelementes in der x , y -Ebene zum Inhalt des entsprechenden Elementes Δ A ' in der u , v -Ebene an. Im Grenzfall Δ x , Δ y , Δ u , Δ v 0 ist dieses Verhältnis durch den Betrag der Funktionaldeterminante ( x , y ) ( u , v ) gegeben

I = lim M lim N m = 0 M -1 n = 0 N -1 f ( ψ 1 ( u m , v n ) , ψ 2 ( u m , v n ) ) Δ x Δ y Δ u Δ v Δ u Δ v = B ' f ( ψ 1 ( u , v ) , ψ 2 ( u , v ) ) ( x , y ) ( u , v ) d u d v .

Zur Veranschaulichung des Ergebnisses betrachten wir drei Vektoren a 0 , a 1 , a 2 , die ein infinitesimales Flächenelement in der Umgebung des Punktes ( u 0 , v 0 ) definieren (Abb. 1)

a 0 = ψ 1 ( u 0 , v 0 ) i + ψ 2 ( u 0 , v 0 ) j a 1 = ψ 1 ( u 0 + d u , v 0 ) i + ψ 2 ( u 0 + d u , v 0 ) j a 2 = ψ 1 ( u 0 , v 0 + d v ) i + ψ 2 ( u 0 , v 0 + d v ) j .

Mit Hilfe der Taylor-Reihe für Funktionen zweier Veränderlicher ergibt sich

ψ 1 , 2 ( u 0 + d u , v 0 ) = ψ 1 , 2 ( u 0 , v 0 ) + ψ 1 , 2 u d u + ψ 1 , 2 ( u 0 , v 0 + d v ) = ψ 1 , 2 ( u 0 , v 0 ) + ψ 1 , 2 v d v + .
Abb.1
Flächenelement

Die Vektoren a 1 - a 0 und a 2 - a 0 spannen ein Parallelogramm auf, dessen Flächeninhalt in kartesischen Koordinaten durch den Betrag des Kreuzprodukts

d A = d x d y = | ( a 1 - a 0 ) × ( a 2 - a 0 ) |

gegeben ist. Mit Hilfe von und ergibt sich

a 1 - a 0 = ψ 1 u d u i + ψ 2 u d u j a 2 - a 0 = ψ 1 v d v i + ψ 2 v d v j .

Das Kreuzprodukt ist nun

( a 1 - a 0 ) × ( a 2 - a 0 ) = i j k ψ 1 u d u ψ 2 u d u 0 ψ 1 v d v ψ 2 v d v 0 = ψ 1 u ψ 2 u ψ 1 v ψ 2 v d u d v k .

(siehe Rechenregeln für Determinanten) und somit ist

d A = ψ 1 u ψ 2 u ψ 1 v ψ 2 v d u d v = ( x , y ) ( u , v ) d A '

wegen

ψ 1 u ψ 2 u ψ 1 v ψ 2 v = ψ 1 u ψ 1 v ψ 2 u ψ 2 v = ( ψ 1 , ψ 2 ) ( u , v ) = ( x , y ) ( u , v ) und d A ' = d u d v .

Beispiel

Wir betrachten ein Bereichsintegral der Form

I = B f ( x 2 + y 2 ) d x d y B : ein Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius a .

Wir nehmen eine Transformation der Variablen in Polarkoordinaten vor:

x = ψ 1 ( r , φ ) = r cos φ y = ψ 2 ( r , φ ) = r sin φ .

Die Funktionaldeterminante ist

( x , y ) ( r , φ ) = x r x φ y r y φ = cos φ - r sin φ sin φ r cos φ = r ( cos 2 φ + sin 2 φ ) = r

Der Integrand wird

f ( x 2 + y 2 ) = f ( r 2 cos 2 φ + r 2 sin 2 φ ) = f ( r 2 ) ,

und somit lautet das Bereichsintegral in Polarkoordinaten:

I = B ' f ( r 2 ) r d r d φ B ' : Rechteck 0 r a , 0 φ 2 π

oder

I = 0 2 π 0 a f ( r 2 ) r d r d φ = 0 2 π d φ 0 a f ( r 2 ) r d r = 2 π 0 a f ( r 2 ) r d r .

Sonderfall: Ist f = 1 , dann stellt das Bereichsintegral den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius a dar:

I = 2 π 0 a r d r = 2 π r 2 2 0 a = π a 2 .
Seite 3 von 4