Allgemeines zur Variablentransformation
Wir betrachten das Bereichsintegral
und wandeln die Koordinaten folgendermaßen um:
Der Integrationsbereich auf der -Ebene wurde in den entsprechenden Bereich auf der -Ebene umgewandelt. Wir setzen voraus, dass diese Transformation umkehrbar ist:
Gemäß der Definition des zweidimesionalen Bereichsintegrals
ist die Doppelsumme in den transformierten Koordinaten gegeben durch
Die Größe gibt das Verhältnis des Flächeninhaltes eines Flächenelementes in der -Ebene zum Inhalt des entsprechenden Elementes in der -Ebene an. Im Grenzfall ist dieses Verhältnis durch den Betrag der Funktionaldeterminante gegeben
Zur Veranschaulichung des Ergebnisses betrachten wir drei
Vektoren , die ein infinitesimales Flächenelement in der Umgebung des Punktes definieren
Mit Hilfe der Taylor-Reihe für Funktionen
zweier Veränderlicher ergibt sich
Die Vektoren und spannen ein Parallelogramm auf, dessen Flächeninhalt in kartesischen Koordinaten
durch den Betrag des Kreuzprodukts
gegeben ist. Mit Hilfe von und ergibt
sich
Das Kreuzprodukt ist nun
(siehe Rechenregeln für
Determinanten) und somit ist
wegen
Beispiel
Wir betrachten ein Bereichsintegral der Form
Wir nehmen eine Transformation der Variablen in Polarkoordinaten vor:
Die Funktionaldeterminante ist
Der Integrand wird
und somit lautet das Bereichsintegral in Polarkoordinaten:
oder
Sonderfall: Ist , dann stellt das Bereichsintegral den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius
dar: