Transformation der Variablen bei zweidimensionalen Bereichsintegralen
Variablentransformation
Die gewöhnliche Integration lässt sich durch Variablensubstitution erheblich vereinfachen:
Substitution:
Nach der Substitution ist leichter zu berechnen:
Für die Berechnung von Bereichsintegralen kann eine Variablentransformation hilfreich sein. Dadurch können auch die Bereichsgrenzen in eine einfache Form umgewandelt werden.
Beispiel
Betrachten wir ein Bereichsintegral der Form
wobei ein Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius sei.
In kartesischen Koordinaten ist der Bereich durch zwei Randkurven dargestellt:
Dann ist
Wandeln wir aber das Integral in Polarkoordinaten um, dann wird es leichter zu berechnen sein. In Polarkoordinaten wird der kreisförmige Integrationsbereich ein Rechteck :
Das infinitesimale Flächenelement geht über in
Das in (Abb. 4) dargestellte Flächenelement wird durch zwei Dreiecke angenähert
Der Übergang zum infinitesimalen Flächenelement ergibt
Folglich lautet das Bereichsintegral nach einer Koordinatentransformation :
partielle Integration: