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Transformation der Variablen bei zweidimensionalen Bereichsintegralen

Variablentransformation

Die gewöhnliche Integration lässt sich durch Variablensubstitution erheblich vereinfachen:

I = 0 π / 2 sin x cos x d x

Substitution:

u = sin x d u = cos x d x u [ 0 , 1 ] .

Nach der Substitution ist I leichter zu berechnen:

I = 0 1 u d u = u 2 2 0 1 = 1 2 .

Für die Berechnung von Bereichsintegralen kann eine Variablentransformation hilfreich sein. Dadurch können auch die Bereichsgrenzen in eine einfache Form umgewandelt werden.

Beispiel

Betrachten wir ein Bereichsintegral der Form

I = B e - x 2 + y 2 d x d y ,

wobei B ein Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius a sei.

In kartesischen Koordinaten ist der Bereich durch zwei Randkurven dargestellt:

Abb.1
Bereich in kartesischen Koordinaten

B : φ 1 ( x ) = - a 2 - x 2 φ 2 ( x ) = + a 2 - x 2

Dann ist

I = - a a φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) e - x 2 + y 2 d y d x .

Wandeln wir aber das Integral in Polarkoordinaten um, dann wird es leichter zu berechnen sein. In Polarkoordinaten wird der kreisförmige Integrationsbereich B ein Rechteck B ' :

Abb.2
Bereich in Polarkoordinaten

B ' : r [ 0 , a ] φ [ 0 , 2 π ]

Das infinitesimale Flächenelement d A geht über in

Abb.3
Flächenelemente in kartesischen- und Polarkoordinaten

d A = d x d y r d r d φ

Das in (Abb. 4) dargestellte Flächenelement wird durch zwei Dreiecke angenähert

Δ A Δ A 1 + Δ A 2 1 2 r Δ φ Δ r + 1 2 Δ r Δ φ ( r + Δ r ) r Δ φ Δ r + 1 2 ( Δ r ) 2 Δ φ .

Der Übergang zum infinitesimalen Flächenelement ergibt

Δ A r d r d φ .
Abb.4
Flächenelement in Polarkoordinaten

Folglich lautet das Bereichsintegral nach einer Koordinatentransformation ( x , y ) ( r , φ ) :

I = B ' e - r d r d φ = 0 2 π 0 a e - r r d r d φ = 0 2 π d φ 0 a e - r r d r

partielle Integration:

= 2 π - e - r r 0 a + 0 a e - r d r = 2 π - a e - a - e - r 0 a I = 2 π ( 1 - e - a ( a + 1 ) ) .
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