Beispiel

Betrachten wir ein Bereichsintegral der Form

$$\mathit{I}=\underset{\mathit{B}}{\iint }{\text{e}}^{-\sqrt{{\mathit{x}}^2+{\mathit{y}}^2}}\text{d}\mathit{x}\text{d}\mathit{y},$$

wobei $\mathit{B}$ ein Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius $\mathit{a}$ sei.

In kartesischen Koordinaten ist der Bereich durch zwei Randkurven dargestellt:

Abb.1

Bereich in kartesischen Koordinaten

$$\mathit{B}:\left\{\begin{array}{rcl}{\phi }_1(\mathit{x})& =& -\sqrt{{\mathit{a}}^2-{\mathit{x}}^2}\\ {\phi }_2(\mathit{x})& =& +\sqrt{{\mathit{a}}^2-{\mathit{x}}^2}\end{array}\right.$$

Dann ist

$$\mathit{I}=\underset{-\mathit{a}}{\overset{\mathit{a}}{\int }}\left(\underset{{\phi }_1(\mathit{x})}{\overset{{\phi }_2(\mathit{x})}{\int }}{\text{e}}^{-\sqrt{{\mathit{x}}^2+{\mathit{y}}^2}}\text{d}\mathit{y}\right)\text{d}\mathit{x}.$$

Wandeln wir aber das Integral in Polarkoordinaten um, dann wird es leichter zu berechnen sein. In Polarkoordinaten wird der kreisförmige Integrationsbereich $\mathit{B}$ ein Rechteck $\mathit{B}\text{'}$:

Abb.2

Bereich in Polarkoordinaten

$$\mathit{B}\text{'}:\mathit{r}\in [0,\mathit{a}]\phi \in [0,2\pi ]$$

Das infinitesimale Flächenelement $\text{d}\mathit{A}$ geht über in

Abb.3

Flächenelemente in kartesischen- und Polarkoordinaten

$$\text{d}\mathit{A}=\text{d}\mathit{x}\text{d}\mathit{y}\to \mathit{r}\text{d}\mathit{r}\text{d}\phi$$

Das in (Abb. 4) dargestellte Flächenelement wird durch zwei Dreiecke angenähert

$$\begin{array}{rcl}\Delta \mathit{A}& \approx & \Delta {\mathit{A}}_1+\Delta {\mathit{A}}_2\\ & \approx & \frac{1}{2}\mathit{r}\Delta \phi \Delta \mathit{r}+\frac{1}{2}\Delta \mathit{r}\Delta \phi (\mathit{r}+\Delta \mathit{r})\\ & \approx & \mathit{r}\Delta \phi \Delta \mathit{r}+\frac{1}{2}(\Delta \mathit{r}{)}^2\Delta \phi .\end{array}$$

Der Übergang zum infinitesimalen Flächenelement ergibt

$$\Delta \mathit{A}\to \mathit{r}\text{d}\mathit{r}\text{d}\phi .$$

Abb.4

Flächenelement in Polarkoordinaten

Folglich lautet das Bereichsintegral nach einer Koordinatentransformation $(\mathit{x},\mathit{y})\to (\mathit{r},\phi )$:

$$\begin{array}{rcl}\mathit{I}& =& \underset{\mathit{B}\text{'}}{\iint }{\text{e}}^{-\mathit{r}}\text{d}\mathit{r}\text{d}\phi =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left(\underset{0}{\overset{\mathit{a}}{\int }}{\text{e}}^{-\mathit{r}}\mathit{r}\text{d}\mathit{r}\right)\text{d}\phi \\ & =& \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\text{d}\phi \underset{0}{\overset{\mathit{a}}{\int }}{\text{e}}^{-\mathit{r}}\mathit{r}\text{d}\mathit{r}\end{array}$$

partielle Integration:

$$\begin{array}{rcl}& =& 2\pi \left\{-{\left[{\text{e}}^{-\mathit{r}}\mathit{r}\right]}_0^{\mathit{a}}+\underset{0}{\overset{\mathit{a}}{\int }}{\text{e}}^{-\mathit{r}}\text{d}\mathit{r}\right\}\\ & =& 2\pi \left\{-\mathit{a}{\text{e}}^{-\mathit{a}}-{\left[{\text{e}}^{-\mathit{r}}\right]}_0^{\mathit{a}}\right\}\\ \mathit{I}& =& 2\pi (1-{\text{e}}^{-\mathit{a}}(\mathit{a}+1)).\end{array}$$