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Transformation der Variablen bei zweidimensionalen Bereichsintegralen

Krummlinige Koordinatensysteme

Bei einem kartesischen Koordinatensystem handelt es sich um Familien von drei senkrecht zueinander liegenden Ebenen ( $x =$ konstant, $y =$ konstant, und $z =$ konstant), die so genannten Koordinatenflächen. Der Schnitt der Ebenen an der Stelle $x = x_{0}$ , $y = y_{0}$ und $z = z_{0}$ ist der Punkt $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .

Abb.1: Kartesische Koordinatenflächen

grün: $x$ konstant, rot: $y$ konstant, blau: $z$ konstant

Für die Ebene $x =$ konstant definiert man einen entsprechenden Einheitsvektor (Basisvektor) $e_{x}$ , der senkrecht zu dieser Ebene und in der Richtung von zunehmendem $x$ liegt. Ebenso definiert man zugeordnete Einheitsvektoren $e_{y}$ bzw. $e_{z}$ für die Ebenen $y =$ konstant bzw. $z =$ konstant. Ein Punkt $P$ mit Koordinaten $(x, y, z)$ lässt sich als ein Vektor $v$ darstellen

v = x e_{x} + y e_{y} + z e_{z} .

Die Richtungen der Einheitsvektoren $e_{y}, e_{y}, e_{z}$ bleiben immer konstant, unabhängig von den Koordinaten $(x, y, z)$ .

Nicht alle Vorgänge lassen sich durch das kartesische Koordinatensystem gut darstellen. Sie eignet sich z.B. nicht für die Darstellung der Bewegung eines Teilchens in einem Zentralfeld (z.B. Coulombfeld), in dem die potenzielle Energie nur von $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ abhängt. In diesem Fall ist ein Koordinatensystem die bessere Wahl, in dem $r$ selbst eine der Koordinaten ist (Kugelkoordinaten).

In einem krummlinigen Koordinatensystem führt man Familien dreier Flächen ( $q_{1}$ , $q_{2}$ und $q_{3}$ alle konstant) ein, die nicht unbedingt Ebenen oder zueinander parallele Flächen sind. In einem krummlinigen Koordinatensystem ergibt der Schnitt dreier Flächen einen Punkt $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$ . Sind die Flächen am Schnittpunkt zueinander senkrecht, so bezeichnet man das Koordinatensystem als orthogonal.

Bei den krummlinigen Koordinaten ist ein Vektor $v$ gegeben durch

v = q_{1} e_{1} + q_{2} e_{2} + q_{3} e_{3},

wobei $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ die Basisvektoren sind, deren Richtungen i. Allg. von $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ abhängen.

Eine Transformation von kartesischen $(x, y, z)$ in krummlinige Koordinaten $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$ kann gegebenenfalls die Berechnung von Bereichsintegralen erleichtern. Dabei ist das Raumelement $d V$ definiert durch

d V = |\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (q_{1}, q_{2}, q_{3})}| d q_{1} d q_{2} d q_{3},

wobei

|\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (q_{1}, q_{2}, q_{3})}| = |\begin{array}{rrr} \frac{\partial x}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x}{\partial q_{2}} & \frac{\partial x}{\partial q_{3}} \\ \frac{\partial y}{\partial q_{1}} & \frac{\partial y}{\partial q_{2}} & \frac{\partial y}{\partial q_{3}} \\ \frac{\partial z}{\partial q_{1}} & \frac{\partial z}{\partial q_{2}} & \frac{\partial z}{\partial q_{3}} \end{array}|

als Funktionaldeterminante oder Jakobi-Determinante bezeichnet wird.

Wir stellen nunmehr drei der gebräuchlichsten orthogonalen Koordinatensysteme vor:

Polarkoordinaten - 2D

Man gibt die Lage eines Punktes $P$ in der $x, y$ -Ebene durch den Abstand $r$ vom Koordinatenursprung $O$ und den Winkel $φ$ an, den die Gerade $O P$ mit der positiven $x$ -Achse einschließt. Es gilt dann:

\begin{array}{rcl} x & = & r cos φ, \\ y & = & r sin φ, \end{array}

Umkehrung:

\begin{array}{rcll} r & = & + \sqrt{x^{2} + y^{2}} & 0 \leq r < \infty, \\ φ & = & arctan \frac{y}{x} & 0 \leq φ < 2 π . \end{array}

Wegen der Mehrdeutigkeit der $arctan$ -Funktion ist bei der Bestimmung von $φ$ zu beachten, in welchem Quadranten der Punkt liegt.

Kurven mit konstanten $φ$ -Werten sind Geraden, während Kurven mit konstanten $r$ -Werten Kreise sind:

Abb.2: Polarkoordinatenflächen

blau: $r$ konstant, rot: $φ$ konstant

Funktionaldeterminante:

\frac{\partial (x, y)}{\partial (r, φ)} = |\begin{array}{rr} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial φ} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial φ} \end{array}| = |\begin{array}{rr} cos φ & - r sin φ \\ sin φ & r cos φ \end{array}| = r ({cos}^{2} φ + {sin}^{2} φ) = r

Flächenelement:

d A = |\frac{\partial (x, y)}{\partial (r, φ)}| d r d φ = r d r d φ

Zylinderkoordinaten - 3D

Erweitert man die Polarkoordinaten durch die Koordinate $z$ , so definiert man die Zylinderkoordinaten:

\begin{array}{rcl} x & = & ρ cos φ, \\ y & = & ρ sin φ, \\ y & = & z . \end{array}

Hier ist $ρ$ der Abstand vom Koordinatenursprung $O$ zur senkrechten Projektion $P'$ des Punktes $P$ auf die $x, y$ -Ebene, und $φ$ ist der Winkel zwischen $O P'$ und der positiven $x$ -Achse.

Abb.3: Zylinderkoordinatenflächen

rot: $ρ$ konstant, grün: $φ$ konstant, blau: $z$ konstant

Funktionaldeterminante:

\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (ρ, φ, z)} = |\begin{array}{rrr} \frac{\partial x}{\partial ρ} & \frac{\partial x}{\partial φ} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial ρ} & \frac{\partial y}{\partial φ} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial ρ} & \frac{\partial z}{\partial φ} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{array}| = |\begin{array}{rrr} cos φ & - ρ sin φ & 0 \\ sin φ & ρ cos φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}| = ρ ({cos}^{2} φ + {sin}^{2} φ) = ρ

Raumelement:

d V = |\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (ρ, φ, z)}| d ρ d φ d z = ρ d ρ d φ d z

Kugelkoordinaten - 3D

Man gibt die Lage eines Punktes $P$ durch den Abstand $r$ vom Koordinatenursprung $O$ an, den Winkel $θ$ , den die Gerade $O P$ mit der positiven $z$ -Achse einschließt, und den Winkel $φ$ , den die senkrechte Projektion $O P'$ der Gerade $O P$ auf die $x, y$ -Ebene mit der positiven $x$ -Achse einschließt. Es gilt dann: