Transformation der Variablen bei zweidimensionalen Bereichsintegralen
Krummlinige Koordinatensysteme
Bei einem kartesischen Koordinatensystem handelt es sich um Familien von drei senkrecht zueinander liegenden Ebenen ( konstant, konstant, und konstant), die so genannten Koordinatenflächen. Der Schnitt der Ebenen an der Stelle , und ist der Punkt .
Für die Ebene konstant definiert man einen entsprechenden Einheitsvektor (Basisvektor) , der senkrecht zu dieser Ebene und in der Richtung von zunehmendem liegt. Ebenso definiert man zugeordnete Einheitsvektoren bzw. für die Ebenen konstant bzw. konstant. Ein Punkt mit Koordinaten lässt sich als ein Vektor darstellen
Die Richtungen der Einheitsvektoren bleiben immer konstant, unabhängig von den Koordinaten .
Nicht alle Vorgänge lassen sich durch das kartesische Koordinatensystem gut darstellen. Sie eignet sich z.B. nicht für die Darstellung der Bewegung eines Teilchens in einem Zentralfeld (z.B. Coulombfeld), in dem die potenzielle Energie nur von abhängt. In diesem Fall ist ein Koordinatensystem die bessere Wahl, in dem selbst eine der Koordinaten ist (Kugelkoordinaten).
In einem krummlinigen Koordinatensystem führt man Familien dreier Flächen (, und alle konstant) ein, die nicht unbedingt Ebenen oder zueinander parallele Flächen sind. In einem krummlinigen Koordinatensystem ergibt der Schnitt dreier Flächen einen Punkt . Sind die Flächen am Schnittpunkt zueinander senkrecht, so bezeichnet man das Koordinatensystem als orthogonal.
Bei den krummlinigen Koordinaten ist ein Vektor gegeben durch
wobei die Basisvektoren sind, deren Richtungen i. Allg. von abhängen.
Eine Transformation von kartesischen in krummlinige Koordinaten kann gegebenenfalls die Berechnung von Bereichsintegralen erleichtern. Dabei ist das Raumelement definiert durch
wobei
als Funktionaldeterminante oder Jakobi-Determinante bezeichnet wird.
Wir stellen nunmehr drei der gebräuchlichsten orthogonalen Koordinatensysteme vor:
Polarkoordinaten - 2D
Man gibt die Lage eines Punktes in der -Ebene durch den Abstand vom Koordinatenursprung und den Winkel an, den die Gerade mit der positiven -Achse einschließt. Es gilt dann:
Umkehrung:
Wegen der Mehrdeutigkeit der -Funktion ist bei der Bestimmung von zu beachten, in welchem Quadranten der Punkt liegt.
Kurven mit konstanten -Werten sind Geraden, während Kurven mit konstanten -Werten Kreise sind:
Funktionaldeterminante:
Flächenelement:
Zylinderkoordinaten - 3D
Erweitert man die Polarkoordinaten durch die Koordinate , so definiert man die Zylinderkoordinaten:
Hier ist der Abstand vom Koordinatenursprung zur senkrechten Projektion des Punktes auf die -Ebene, und ist der Winkel zwischen und der positiven -Achse.
Funktionaldeterminante:
Raumelement:
Kugelkoordinaten - 3D
Man gibt die Lage eines Punktes durch den Abstand vom Koordinatenursprung an, den Winkel , den die Gerade mit der positiven -Achse einschließt, und den Winkel , den die senkrechte Projektion der Gerade auf die -Ebene mit der positiven -Achse einschließt. Es gilt dann:
Umkehrung:
Funktionaldeterminante:
Raumelement: