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Zweidimensionale Bereichsintegrale

Fläche eines Bereichs

Für das zweidimensionale Bereichsintegral

V = B f ( x , y ) d x d y

betrachten wir den Fall, dass z = f ( x , y ) = 1 . Er dient der Volumenberechnung des über dem Bereich liegenden Zylinders der Höhe z = 1 , der auch dem Flächeninhalt A des Bereichs B gleicht.

A = B d x d y .
Abb.1
Allgemeiner Bereich
A = a b d x φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) d y = a b φ 2 ( x ) - φ 1 ( x ) d x = a b φ 2 ( x ) d x - a b φ 1 ( x ) d x .

Beispiel

Bestimme den Flächeninhalt A eines Kreises um den Koordinatenursprung mit dem Radius a . (Antwort: A = π a 2 ).

Der Integrationsbereich ist

B : φ 1 ( x ) = - a 2 - x 2 φ 2 ( x ) = + a 2 - x 2

Der gesuchte Flächeninhalt ist

A = B d x d y = - a a - a 2 - x 2 + a 2 - x 2 d y d x .

Das innere Integral (nach y ) ergibt 2 a 2 - x 2 . Dann ist

A = 2 - a a a 2 - x 2 d x .

Wir nehmen die Variablensubstitution x = a sin φ vor:

d x = a cos φ d φ φ [ - π 2 , π 2 ] .

Somit ist nun

A = 2 - π / 2 π / 2 a cos φ a 2 - a 2 sin 2 φ d φ = 2 a 2 - π / 2 π / 2 cos 2 φ d φ .

Wegen der Relation 2 cos 2 φ 1 - cos 2 φ ist

A = a 2 - π / 2 π / 2 ( 1 - cos 2 φ ) d φ = a 2 φ - π / 2 π / 2 - 1 2 sin 2 φ - π / 2 π / 2 A = π a 2 .
Hinweis
Die Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises ist in Polarkoordinaten einfacher.
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