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Doppelintegrale

Partielle Integration

Ist eine Funktion z= f ( x ,y ) innerhalb eines abgeschlossenen Rechtecks a x b und c y d für x und y stetig, so ist die Integration bezüglich x und y separat möglich und unabhängig von der Integrationsreihenfolge. Bei der Integration nach x wird y als Konstante behandelt. Da y aber eine Variable ist, muss das Ergebnis eine Funktion von y sein, also

I x= a b f (x ,y ) dx =h (y )

Es lässt sich nachweisen, dass die Funktion h( y) stetig auf dem Intervall [ c, d] ist.

Entsprechend wird x bei der Integration nach y als Konstante behandelt:

I y= c d f (x ,y ) dy =g (x ),

wobei g (x ) stetig auf dem Intervall [ a, b] ist.

Beispiel
z =f (x ,y) =6x y2 zstetig in x[ a, b] undy [c ,d]

1. Integration nach x :

I x =h (y )= a b 6 x y2 d x= 6x 2y 22 a b =3( b2 -a 2) y2

2. Integration nach y :

Iy =g (x )= c d 6x y2 d y= 6 x y3 3 a b =2( d3- c3 )x

Nun integrieren wir die Funktionen Ix bzw. Iy nach y bzw. x .

Integration nach y :

I xy = c d h (y ) dy = c d 3( b2- a2 )y 2 dy = 3( b2- a2 ) y3 3 c d =( b2- a2 )( d3 -c 3)

Integration nach x:

I y x= a b g( x ) dx = a b 2( d3 -c 3) x d x= 2 (d 3- c3 ) x 22 a b =( b2 -a 2) ( d3 -c 3) ,

d.h.,

Ix y =I y x .

Das Doppelintegral der stetigen Funktion f (x ,y ) auf einem rechteckigen Bereich ist unabhängig von der Reihenfolge der Integration, d.h., es gilt

c d a b f( x, y) d x d y= a b c d f( x, y) d y d x.
Beweis

Man führt zwei neue Funktionen ein, wobei a, c und d konstant sind und u variabel:

I x y (u ) = c d a u f ( x, y ) d x d y I y x (u ), = a u c d f (x ,y ) d y d x .

Die Ableitungen der neuen Funktionen sind

d I xy ( u) du , = c d f( u, y) d y d I y x (u ) du = c d f (u ,y ) d y ,

die identisch sind. Folglich ist

Ix y (u )- I yx ( u) =k(konstant).

Da I xy ( a) =I y x (a )=0 ist, ist k =0 und der Satz ist bewiesen.

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