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Doppelintegrale

Differenziation eines Integrals

Sei eine Funktion z = f ( x , y ) innerhalb eines abgeschlossenen Rechtecks a x b und c y d für x und y stetig. Dann ist

h ( y ) = a b f ( x , y ) d x

stetig in [ c , d ] . Die Reihenfolge von Differenziation und Integration kann vertauscht werden, wenn h ( y ) in dem Intervall stetig ist

d h d y = d d y a b f ( x , y ) d x d h d y = a b f ( x , y ) y d x .

Genauso ist

g ( x ) = c d f ( x , y ) d y

stetig in [ a , b ] mit

d g d x = d d x c d f ( x , y ) d y d g d x = c d f ( x , y ) x d y .
Abb.1
Integral für x = konstant
Beispiel

Sei z = f ( x , y ) = 6 x y 2 stetig in a x b , c y d . Dann ist

d g d x = d d x c d f ( x , y ) d y = d d x 2 x y 3 c d = 2 ( d 3 - c 3 ) d g d x = c d f ( x , y ) x d y = c d 6 y 2 d y = 2 y 3 c d = 2 ( d 3 - c 3 ) .

Für variable Integrationsgrenzen (nicht rechteckiges Integrationsbereich (Abb. 2) ) ist

g ( x ) = φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y = I ( x , φ 1 ( x ) , φ 2 ( x ) ) .
Abb.2
Variable Integrationsgrenzen

Die Ableitung ist (siehe Link) nach der Kettenregel

d g d x = I x + I φ 2 d φ 2 d x + I φ 1 d φ 1 d x = φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) x d y + f ( x , φ 2 ( x ) ) d φ 2 d x - f ( x , φ 1 ( x ) ) d φ 1 d x .
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