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Doppelintegrale

Berechnung des Doppelintegrals

Wir wollen nun zeigen, wie sich das zweidimensionale Bereichsintegral auf zwei gewöhnliche Integrale zurückführen lässt. Der Bereich B in der x , y -Ebene lässt sich durch die Kurven y = φ 1 ( x ) und y = φ 2 ( x ) auf dem Intervall x [ a , b ] begrenzen.

Abb.1
Allgemeiner Bereich

Das Zylindervolumen lautet

V = a b φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y d x ,

wobei das innere Integral

g ( x ) = φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y

die Seitenfläche einer im Abstand x zur y , z -Ebene parallel liegenden Scheibe ergibt. Hier wird x als konstanter Parameter betrachtet. Das Volumen V ist dann der Grenzwert der Summe der Volumina der einzelnen Scheiben und ist durch das äußere Integral gegeben

V = a b g ( x ) d x .

Merke, dass die Grenzen des inneren Integrals Funktionen der Integrationsvariable des äußeren Integrals sind.

Alternativ lässt sich ein Bereich B durch die Kurven x = θ 1 ( y ) und x = θ 2 ( y ) auf dem Intervall y [ c , d ] begrenzen. Dies ist sinnvoll für den Fall, dass die Randkurve des Bereiches durch Parallelen zur y -Achse mehr als zweimal geschnitten wird.

Abb.2
Allgemeiner Bereich

Das Zylindervolumen lautet

V = c d θ 1 ( y ) θ 2 ( y ) f ( x , y ) d x d y .

Beispiel

Wir berechnen das Volumen V zwischen der Fläche z = f ( x , y ) = 1 + 2 x y und einem Bereich B in der x , y -Ebene:

Bereich  B : y = φ 1 ( x ) = x 2 , y = φ 2 ( x ) = x , 0 x 1 .
Abb.3
Abbildung des Bereichs B
V = B f ( x , y ) d x d y = 0 1 x 2 x ( 1 + 2 x y ) d y d x ,
  1. Innere Integration (nach der Variablen y ) x 2 x ( 1 + 2 x y ) d y = y + x y 2 x 2 x = x + x 3 - x 2 - x 5 .
  2. Äußere Integration (nach der Variablen x ) 0 1 ( x + x 3 - x 2 - x 5 ) d x = x 2 2 + x 4 4 - x 3 3 - x 6 6 0 1 = 1 2 + 1 4 - 1 3 - 1 6 = 1 4 .

Somit ist

V = 1 4 .

Alternative Definition desselben Bereiches:

Bereich B : x = θ 1 ( y ) = y , x = θ 2 ( y ) = y , 0 y 1 .
V = B f ( x , y ) d x d y = 0 1 y y ( 1 + 2 x y ) d x d y ,
  1. Innere Integration (nach der Variablen x ) y y ( 1 + 2 x y ) d x = x + x 2 y y y = y + y 2 - y - y 3 .
  2. Äußere Integration (nach der Variablen y ) 0 1 ( y + y 2 - y - y 3 ) d y = 2 y 3 / 2 3 + y 3 3 - y 2 2 - y 4 4 0 1 = 2 3 + 1 3 - 1 2 - 1 4 = 1 4 .

Somit ist wie erwartet

V = 1 4 .

Merke die alternativen Schreibweisen fürs Doppelintegral

a b φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y d x = a b d x φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y = x = a b y = φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y d x ,

wobei die Reihenfolge der Integrationen klar gemacht wird.

Die Reihenfolge der Integrationen in einem Doppelintegral ist i. Allg. nicht vertauschbar, d.h.

a b φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y d x φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) a b f ( x , y ) d x d y .

Bei einer Vertauschung der Integrationsreihenfolge müssen die Integrationsgrenzen neu bestimmt werden. Nur bei einem rechteckigen Integrationsbereich ist die Integrationsreihenfolge vertauschbar

a b c d f ( x , y ) d y d x = c d a b f ( x , y ) d x d y .

Sonderfall

Lässt sich die Funktion f ( x , y ) als Produkt zweier Funktionen einer Veränderlicher ausdrücken

f ( x , y ) = F ( x ) G ( y ) ,

so kann das Bereichsintegral f ( x , y ) über einen rechteckigen Bereich B als Produkt zweier gewöhnlicher Integrale dargestellt werden:

B f ( x , y ) d x d y = a b F ( x ) d x c d G ( y ) d y .
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