Doppelintegrale

Die Fläche zwischen einer Funktion einer Veränderlichen $\mathit{y}=\mathit{f}(\mathit{x})$ und der $\mathit{x}$-Achse auf dem Intervall $\mathit{x}\in [\mathit{a},\mathit{b}]$ ist als der Grenzwert einer Summe definiert

$$\mathit{A}=\underset{\mathit{M}\to \infty }{lim}\sum _{\mathit{m}=0}^{\mathit{M}-1}\mathit{f}({\mathit{x}}_{\mathit{m}})\Delta \mathit{x}=\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\mathit{f}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x},$$

wobei

$$\Delta \mathit{x}=\frac{\mathit{b}-\mathit{a}}{\mathit{M}},{\mathit{x}}_{\mathit{m}}=\mathit{a}+\mathit{m}\Delta \mathit{x}$$

ist. $\mathit{A}$ heißt das bestimmte Integral von $\mathit{f}(\mathit{x})$ innerhalb der Grenzen $\mathit{a}$ und $\mathit{b}$.

Bei einer Funktion zweier Veränderlicher $\mathit{z}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})$ lässt sich analog ein Doppelintegral definieren. Betrachten wir einen einfach zusammenhängenden rechteckigen Bereich $\mathit{B}$ ($\mathit{a}\le \mathit{x}\le \mathit{b}$ und $\mathit{c}\le \mathit{y}\le \mathit{d}$) in der $\mathit{x},\mathit{y}$-Ebene, in dem die Funktion $\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})$ stetig ist. Man zerlegt den Bereich $\mathit{B}$ in $\mathit{M}\mathit{N}$ rechteckige Flächeninhalte $\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}$ mit den Koordinaten $({\mathit{x}}_{\mathit{m}},{\mathit{y}}_{\mathit{n}}),\mathit{m}=0,1,\dots ,\mathit{M}-1,\mathit{n}=0,1,\dots ,\mathit{N}-1$, wobei

$$\begin{array}{rcl}\Delta \mathit{x}=\frac{\mathit{b}-\mathit{a}}{\mathit{M}}& ,& {\mathit{x}}_{\mathit{m}}=\mathit{a}+\mathit{m}\Delta \mathit{x},\\ \Delta \mathit{y}=\frac{\mathit{d}-\mathit{c}}{\mathit{N}}& ,& {\mathit{y}}_{\mathit{n}}=\mathit{c}+\mathit{n}\Delta \mathit{y},\end{array}$$

ist. Multipliziert man den Flächeninhalt $\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}$ eines einzelnen Rechtecks mit dem dazugehörigen Funktionswert $\mathit{f}({\mathit{x}}_{\mathit{m}},{\mathit{y}}_{\mathit{n}})$, erhält man das Volumen eines Quaders. Summiert man die Volumina aller Quader (eine Doppelsumme über $\mathit{m}$ und $\mathit{n}$), erhält man annäherungsweise das Volumen des Körpers zwischen dem durch den Bereich $\mathit{B}$ bestimmten Flächenstück $\mathit{z}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})$ und dem Bereich $\mathit{B}$ auf der $\mathit{x},\mathit{y}$-Ebene.

Das zweidimensionale Bereichsintegral ist der Grenzwert dieser Doppelsumme und ergibt das Volumen $\mathit{V}$ des Körpers

$$\mathit{V}=\underset{\mathit{M}\to \infty }{lim}\underset{\mathit{N}\to \infty }{lim}\sum _{\mathit{m}=0}^{\mathit{M}-1}\sum _{\mathit{n}=0}^{\mathit{N}-1}\mathit{f}({\mathit{x}}_{\mathit{m}},{\mathit{y}}_{\mathit{n}})\Delta \mathit{x}\Delta \mathit{y}=\underset{\mathit{c}}{\overset{\mathit{d}}{\int }}\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{x}\text{d}\mathit{y}\text{.}$$

Für einen allgemeinen Bereich $\mathit{B}$ auf der $\mathit{x},\mathit{y}$-Ebene (d.h. nicht unbedingt rechteckig) geht man auf die gleiche Weise vor. Man zerlegt den Bereich in Flächenelemente $\Delta \mathit{A}$, summiert alle dadurch erhaltenen Quader und bildet den Limes der Summe, den man als Bereichsintegral für den Bereich $\mathit{B}$ auf der $\mathit{x},\mathit{y}$-Ebene bezeichnet

$$\mathit{V}=\underset{\mathit{B}}{\iint }\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{x}\text{d}\mathit{y}.$$

$\mathit{V}$ entspricht dem zwischen der Fläche und der $\mathit{x},\mathit{y}$-Ebene liegenden Zylindervolumen.

Man zählt Volumenanteile oberhalb der $\mathit{x},\mathit{y}$ -Ebene positiv, solche unterhalb dieser Ebene negativ.