Doppelintegrale
Doppelintegrale
Die Fläche zwischen einer Funktion einer Veränderlichen und der -Achse auf dem Intervall ist als der Grenzwert einer Summe definiert
wobei
ist. heißt das bestimmte Integral von innerhalb der Grenzen und .
Bei einer Funktion zweier Veränderlicher lässt sich analog ein Doppelintegral definieren. Betrachten wir einen einfach zusammenhängenden rechteckigen Bereich ( und ) in der -Ebene, in dem die Funktion stetig ist. Man zerlegt den Bereich in rechteckige Flächeninhalte mit den Koordinaten , wobei
ist. Multipliziert man den Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks mit dem dazugehörigen Funktionswert , erhält man das Volumen eines Quaders. Summiert man die Volumina aller Quader (eine Doppelsumme über und ), erhält man annäherungsweise das Volumen des Körpers zwischen dem durch den Bereich bestimmten Flächenstück und dem Bereich auf der -Ebene.
Das zweidimensionale Bereichsintegral ist der Grenzwert dieser Doppelsumme und ergibt das Volumen des Körpers
Für einen allgemeinen Bereich auf der -Ebene (d.h. nicht unbedingt rechteckig) geht man auf die gleiche Weise vor. Man zerlegt den Bereich in Flächenelemente , summiert alle dadurch erhaltenen Quader und bildet den Limes der Summe, den man als Bereichsintegral für den Bereich auf der -Ebene bezeichnet
entspricht dem zwischen der Fläche und der -Ebene liegenden Zylindervolumen.
Man zählt Volumenanteile oberhalb der -Ebene positiv, solche unterhalb dieser Ebene negativ.