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Doppelintegrale

Doppelintegrale

Die Fläche zwischen einer Funktion einer Veränderlichen y = f ( x ) und der x -Achse auf dem Intervall x [ a , b ] ist als der Grenzwert einer Summe definiert

Abb.1
Bestimmtes Integral
A = lim M m = 0 M -1 f ( x m ) Δ x = a b f ( x ) d x ,

wobei

Δ x = b - a M , x m = a + m Δ x

ist. A heißt das bestimmte Integral von f ( x ) innerhalb der Grenzen a und b .

Bei einer Funktion zweier Veränderlicher z = f ( x , y ) lässt sich analog ein Doppelintegral definieren. Betrachten wir einen einfach zusammenhängenden rechteckigen Bereich B ( a x b und c y d ) in der x , y -Ebene, in dem die Funktion f ( x , y ) stetig ist. Man zerlegt den Bereich B in M N rechteckige Flächeninhalte Δ x Δ y mit den Koordinaten ( x m , y n ) , m = 0 , 1 , , M -1 , n = 0 , 1 , , N -1 , wobei

Δ x = b - a M , x m = a + m Δ x , Δ y = d - c N , y n = c + n Δ y ,

ist. Multipliziert man den Flächeninhalt Δ x Δ y eines einzelnen Rechtecks mit dem dazugehörigen Funktionswert f ( x m , y n ) , erhält man das Volumen eines Quaders. Summiert man die Volumina aller Quader (eine Doppelsumme über m und n ), erhält man annäherungsweise das Volumen des Körpers zwischen dem durch den Bereich B bestimmten Flächenstück z = f ( x , y ) und dem Bereich B auf der x , y -Ebene.

Das zweidimensionale Bereichsintegral ist der Grenzwert dieser Doppelsumme und ergibt das Volumen V des Körpers

V = lim M lim N m = 0 M -1 n = 0 N -1 f ( x m , y n ) Δ x Δ y = c d a b f ( x , y ) d x d y .
Abb.2
Doppelintegral

Für einen allgemeinen Bereich B auf der x , y -Ebene (d.h. nicht unbedingt rechteckig) geht man auf die gleiche Weise vor. Man zerlegt den Bereich in Flächenelemente Δ A , summiert alle dadurch erhaltenen Quader und bildet den Limes der Summe, den man als Bereichsintegral für den Bereich B auf der x , y -Ebene bezeichnet

V = B f ( x , y ) d x d y .

V entspricht dem zwischen der Fläche und der x , y -Ebene liegenden Zylindervolumen.

Man zählt Volumenanteile oberhalb der x , y -Ebene positiv, solche unterhalb dieser Ebene negativ.

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