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Vollständiges und unvollständiges Differenzial

Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve

Gegeben sei eine Kurve C im Raum mit Startpunkt A und Endpunkt B in Parameterform

x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) , t A t t B .

Man kann dieser Kurve einen Vektor

r ( t ) = x ( t ) e 1 + y ( t ) e 2 + z ( t ) e 3

zuordnen, dessen Spitze die Kurve beim Variieren des Parameters t von t A nach t B durchläuft.

Abb.1
Raumkurve C

Die Kurve ist differenzierbar, wenn x ( t ) , y ( t ) und z ( t ) differenzierbare Funktionen von t sind, und besitzt dann den Tangentialvektor

d r ( t ) d t = r ' ( t ) = x ' ( t ) e 1 + y ' ( t ) e 2 + z ' ( t ) e 3  .

Das Kurvenstück d r = r ' ( t ) d t tangiert die Kurve an der Stelle r ( t ) .

Nun sei

F ( x , y , z ) = F 1 ( x , y , z ) e 1 + F 2 ( x , y , z ) e 2 + F 3 ( x , y , z ) e 3

ein Vektorfeld. Wir definieren das Linienintegral des Vektorfeldes F längs der Kurve C als

I = C F d r = t A t B F ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) r ' ( t ) d t ,

d.h., I ist das Integral des skalaren Produkts von F mit d r . Hier ist das skalare Produkt

F ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) r ' ( t ) = F 1 x ' ( t ) + F 2 y ' ( t ) + F 3 z ' ( t ) .

Berechnung der Arbeit

Als Beispiel betrachten wir die Arbeit, die bei der Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld F ( x , y , z ) verrichtet wird. Bewegt sich der Körper um ein Wegstück d r , wird eine Arbeit

d W = F d r

verrichtet. Man verschiebt den Körper längs einer Kurve C von Punkt A nach Punkt B und summiert die einzelnen Wegstücke d r , um die gesamte verrichtete Arbeit zu erhalten

W = C F d r .

Liegt ein konservatives Kraftfeld vor, lässt es sich als Gradient eines Skalarfeldes φ ( x , y , z ) auffassen

F = - φ = - φ x e 1 + φ y e 2 + φ z e 3 .

Die verrichtete Arbeit ist dann

W = - C φ x d x + φ y d y + φ z d z = φ ( x A , y A , z A ) - φ ( x B , y B , z B ) ,

d.h., bei einem konservativen Kraftfeld ist die geleistete Arbeit wegunabhängig. Insbesondere ist die Arbeit für eine geschlossene Kurve gleich Null.

Beispiele für konservative Kraftfelder sind das elektrische Feld und das Gravitationsfeld. Ein nichtkonservatives Vektorfeld ist das Magnetfeld.

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