zum Directory-modus

Vollständiges und unvollständiges Differenzial

Vollständiges und unvollständiges Differenzial

Hängt das Linienintegral

I = C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y

nicht vom Integrationsweg C ab, und sind P und Q die partiellen Ableitungen einer Funktion z = f ( x , y ) , für die das totale, exakte oder vollständige Differenzial lautet

d z = f x ( x , y ) d x + f y ( x , y ) d y = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y ,

dann ist

I = C d z .

Insbesondere für Kreisintegrale gilt

d z = 0.

Sind hingegen die Funktionen P ^ und Q ^ eines Linienintegrals

I = C P ^ ( x , y ) d x + Q ^ ( x , y ) d y

keine Ableitungen einer gemeinsamen Stammfunktion, dann kann trotzdem folgender Ausdruck eingeführt werden:

δ z = P ^ ( x , y ) d x + Q ^ ( x , y ) d y .

Dabei wird δ z als nichtexaktes oder unvollständiges Differenzial bezeichnet. Das Linienintegral ist wegabhängig und

δ z 0 .
<Seite 1 von 2