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Allgemeines Linienintegral

Kreisintegrale

Liegt eine geschlossene Kurve C vor, so fallen Anfangs- ( x a , y a ) und Endpunkt ( x e , y e ) der Kurve zusammen. Ein Linienintegral über eine geschlossene Kurve bezeichnet man als Kreisintegral oder Umlaufintegral und wird mit dem Symbol bezeichnet

I = C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y .
Abb.1
Geschlossene Kurve
  • Ist P y = Q x , wird das Kreisintegral dann gleich Null: I = f ( x e , y e ) - f ( x a , y a ) = f ( x a , y a ) - f ( x a , y a ) = 0  . Dabei muss der Bereich R einfach zusammenhängend und f ( x , y ) in R stetig sein.
  • Ist P y Q x , folgt i. Allg. C P d x + Q d y 0  .
Beispiel

Der ringförmige Magnetfeldvektor um einen stromdurchflossenen Draht (Strom i ) ist in Polarkoordinaten gegeben durch

H ( r , φ ) = i 2 π r ( - sin φ , cos φ , 0 ) .

Der Integrationsweg ist ein konzentrischer Kreis C (Radius r ) um den Leiter in der x y -Ebene

I = C H d r .

Es ergibt sich

I = i 2 π r C d r = i 2 π r 2 π r = i ,

d.h., das Linienintegral längs eines geschlossenen Weges in einem Magnetfeld ist gleich dem vom Weg eingeschlossenen Strom (Durchflutungssatz).

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