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Allgemeines Linienintegral

Wegunabhängigkeit des Linienintegrals

Wir betrachten das allgemeine Linienintegral

I = C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y .

Wenn die Funktionen P ( x , y ) und Q ( x , y ) partielle Ableitungen einer einzigen Funktion z = f ( x , y ) (gemeinsame Stammfunktion) sind

P ( x , y ) = f x ( x , y ) Q ( x , y ) = f y ( x , y ) ,

dann ist

I = C f x ( x , y ) d x + f y ( x , y ) d y = t a t b f x ( x ( t ) , y ( t ) ) x ( t ) + f y ( x ( t ) , y ( t ) ) y ( t ) d t = t a t b d f d t d t = f ( x ( t b ) , y ( t b ) ) - f ( x ( t a ) , y ( t a ) ) = f ( x b , y b ) - f ( x a , y a )

Dieses Linienintegral hängt nur vom Wert der Funktion f ( x , y ) am Anfangspunkt a und am Endpunkt b der Kurve C ab und nicht vom Integrationsweg (Verlauf von C ). Für zwei unterschiedliche Kurven C 1 und C 2 , die durch gemeinsame Anfangs- und Endpunkte verlaufen, gilt deshalb:

C 1 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = C 2 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y .

Beispiel

Wir berechnen das Linienintegral

C y d x + x d y

längs der Kurve C : y = w ( x ) = x 2 und zwischen den Punkten ( 0 , 0 ) und ( 2 , 4 ) .

Abb.1
Integrationsweg

Es ist

P ( x , y ) = y P x = 1  , Q ( x , y ) = x P y = 1  .

Das Linienintegral ist also wegunabhängig. Wir können das Integral für den einfachsten Integrationsweg lösen:

  • Weg C : y = x 2 : I = C y d x + x d y = C x 2 d x + x 2 x d x = 3 0 2 x 2 d x = 3 x 3 3 0 2 = 8 .
  • Zerlegung des Weges in zwei Teilkurven C 1 : y = 0 zwischen x = 0 und x = 2 und C 2 : x = 2 zwischen y = 0 und y = 4 : Längs C 1 ist y = 0 , d y = 0 : I 1 = C 1 y d x + x d y = 0 . Längs C 2 ist x = 2 , d x = 0 : I 2 = C 2 y d x + x d y = 0 4 2 d y = 2 y 0 4 = 8 . Bilden wir die Summe, so ergibt sich I = I 1 + I 2 = 0 + 8 = 8 .

Als alternative Lösungsmethode kann man die Stammfunktion f ( x , y ) aus P , Q und die Anfangs- und Endpunkte des Weges einsetzen:

  • Integration des Differenzials nach x mit y konstant: f = d f = f x d x = y d x = x y + g ( y ) .
  • Integration des Differenzials nach y mit x konstant: f = d f = f y d y = x d y = x y + h ( x ) .

Es folgt

f ( x , y ) = x y + g ( y ) = x y + h ( x ) ,

d.h. g ( y ) und h ( x ) müssen konstant sein, z.B. g ( y ) = h ( x ) = c . Für die Stammfunktion folgt

z = f ( x , y ) = x y + c .

Das Integral für den Weg von ( 0 , 0 ) nach ( 2 , 4 ) kann jetzt berechnet werden:

I = f ( 2 , 4 ) - f ( 0 , 0 ) = 2 4 + c - ( 0 + c ) = 8 .
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