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Allgemeines Linienintegral

Allgemeines Linienintegral

Das allgemeine Linienintegral ist definiert als

I = C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y .

Dabei stellt die Kurve C einen Weg y = w ( x ) in der x , y -Ebene dar. Der Integrand P d x + Q d y wird allgemein als Pfaff´sche Form bezeichnet.

Einsetzen von y = w ( x ) und d y = w ' ( x ) d x in das Integral ergibt

I = x a x b P ( x , w ( x ) ) + Q ( x , w ( x ) ) w ' ( x ) d x .

Aus der Darstellung der Kurve C in Parameterform C : ( x ( t ) , y ( t ) ) , t [ t a , t b ]

x = x ( t ) d x = x d t y = y ( t ) d y = y d t

folgt

I = t a t b P ( t ) x ( t ) + Q ( t ) y ( t ) d t .

Geometrische Deutung des Linienintegrals

Ein Linienintegral ist der Grenzwert einer Summe

C P ( x , y ) d x = lim n i = 1 n P ( x i , y i ) Δ x ,

wobei die Punkte ( x i , y i ) die Kurve C in der x , y -Ebene in kleine Stücke unterteilen. Die Gleichung z = P ( x , y ) stellt eine Fläche dar und die Punkte P ( x i , y i ) definieren eine Kurve C ' auf dieser Fläche. Das Linienintegral gibt den Inhalt der Projektion der Fläche zwischen C und C ' auf die x , z -Ebene an.

Entsprechend gibt das Linienintegral

C Q ( x , y ) d y = lim n i = 1 n Q ( x i , y i ) Δ y

den Inhalt der Projektion der Fläche zwischen C und der durch die Punkte Q ( x i , y i ) definierten Kurve C ' ' auf die y , z -Ebene an.

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