zum Directory-modus

Linienintegrale

Alternative Veranschaulichung

Gegeben seien eine Funktion z = f ( x ) und zwei Punkte ( a , z a = f ( a ) ) und ( b , z b = f ( b ) ) auf der Funktionskurve. Die Differenz z b - z a lässt sich als ein bestimmtes Integral ausdrücken

Abb.1
Differenz z b - z a als bestimmtes Integral
z b - z a = z a z b d z = a b f ' ( x ) d x .

Für eine Funktion zweier Veränderlicher z = f ( x , y ) gilt entsprechend

d z = f x d x + f y d y = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y ,

wobei P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y ein totales/exaktes Differenzial ist. Wir summieren alle Linienelemente d z für einen Weg C in der x , y -Ebene und erhalten

z b - z a = z a z b d z = C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = f ( x b , y b ) - f ( x a , y a )
Abb.2
Allgemeiner Integrationsweg w ( x )

Ist P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y gegeben, dann stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Funktion z = f ( x , y ) existiert mit f x = P ( x , y ) und f y = q ( x , y ) . Nach dem Satz von Schwarz ist f x y = f y x , also muss gelten

( f x ) y = P y = ( f y ) x = Q x P y = Q x .
Beispiel
I = C y d x + x d y
P = y P y = 1 Q = x Q x = 1

Wegen P y = Q x liegt ein totales Differenzial vor.

Beispiel
I = C y 2 d x + x 2 d y
P = y 2 P y = 2 y Q = x 2 Q x = 2 x

Wegen P y Q x liegt kein totales Differenzial vor.

Seite 2 von 2>