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Linienintegrale

Linienintegrale

Das bestimmte Integral einer Funktion einer Veränderlichen z.B. z = f ( x ) = x zwischen x = 0 und x = 2 lässt sich wie folgt berechnen

Abb.1
Bestimmtes Integral
I = 0 2 f ( x ) d x = 0 2 x d x = x 2 2 0 2 = 2 .

Diese Art von Integral bezeichnet man als gewöhnliches Integral.

Wir betrachten nun eine Funktion zweier Veränderlicher z = f ( x , y ) , die in einem Bereich R der x , y -Ebene stetig ist und versuchen, das Integral dieser Funktion nach einer Veränderlichen zu definieren, d.h., wir erweitern den gewöhnlichen Integralbegriff. Es steht uns eine Auswahl von zwei Integrationsvariablen x und y zur Verfügung und der Integrationsweg ist folglich im Allgemeinen eine Kurve im Bereich R der x , y -Ebene.

Als Beispiel betrachten wir die Funktion

z = f ( x , y ) = x 2 + y

und drei mögliche geradlinige Integrationswege in der x , y -Ebene:

Abb.2
Geradlinige Integrationswege

1. Für die Gerade y = 0 zwischen x = 0 und x = 2 :

z = f ( x , 0 ) = g ( x ) = x 2 ,

also

I x = 0 2 g ( x ) d x = 0 2 x 2 d x = x 3 3 0 2 = 8 3 .

2. Für die Gerade x = 0 zwischen y = 0 und y = 2 :

z = f ( 0 , y ) = h ( y ) = y ,

also

I y = 0 2 h ( y ) d y = 0 2 y d y = y 2 2 0 2 = 2  .

3. Für die Gerade y = w ( x ) = x zwischen s = 0 und s = 2 , wobei s der Weglänge entspricht:

z = f ( x , x ) = x 2 + x ,
I s = 0 2 ( x 2 + x ) d s , d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 ,
Abb.3
Wegstück d s

also

y = w ( x ) d y = w ' ( x ) d x ,
d s = ( d x ) 2 + ( w ' ( x ) d x ) 2 = 1 + ( w ' ( x ) ) 2 d x ,
w ' ( x ) = 1 d s = 2 d x ,
I s = 2 0 a ( x 2 + x ) d x = 2 x 3 3 + x 2 2 0 a = 2 a 3 3 + a 2 2 .

Wir bestimmen nun a

Abb.4
a
2 2 = a 2 + a 2 a = 2 ,

also

I s = 4 3 + 1 = 7 3 .

Die Ergebnisse sind wegabhängig.

Allgemeiner Weg

Für einen allgemeinen Integrationsweg y = w ( x ) in der x , y -Ebene, bei der zu jedem x -Wert nur ein einziger y -Wert gehört, gilt

I s = w f ( x , y ) d s , d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 ,

also

I s = w f ( x , y ) 1 + ( w ' ( x ) ) 2 d s .
Abb.5
Allgemeiner Integrationsweg w ( x )

Das Ergebnis hängt von w ( x ) ab. Ist es möglich ein wegunabhängiges Linienintegral zu definieren? Das folgende Linienintegral ist wegunabhängig

I = C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y mit P y = Q x .

Es hängt nur von dem Anfangs- und Endpunkt der Kurve C : y = w ( x ) ab.

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