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Integration im Computer

Beispiel

Wir testen die Tauglichkeit der Trapez- sowie der Simpson´schen Regel anhand eines Beispiels. Man berechne das bestimmte Integral

I = 1 3 1 x d x .

Die Stammfunktion von 1 x ist ln x (siehe Tabelle). Damit lässt sich das Integral analytisch berechnen:

I = ln x 1 3 = ln 3 - ln 1 = 1,098612289 .

Nun berechnen wir I mittels der Trapez- bzw. Simpson´schen Regel als eine Funktion der Anzahl von Stützstellen (Streifen), was anhand eines Computeralgebrasystems, wie z.B. Maple, keine große Mühe bereitet:

Tab.1
Quadratur von 1 3 1 x d x
StreifenanzahlTrapezregelSimpsonsche Regel
21,1666671,1
41,1166671,098725
61,1067461,098636
81,1032111,09862
101,1015621,098616
121,1006641,098614
141,1001211,098613
161,0997681,098613
181,0995261,098613
201,0993521,098612
221,0992241,098612
241,0991261,098612
261,099051,098612
Abb.1
Numerische Quadratur von 1 3 1 x d x

Vergleich der Trapezregel (rot) mit der Simpson´schen Regel (blau) und dem exakten Ergebnis (gestrichelte Linie)

Diesen Daten entnimmt man, dass die Simpsonsche Regel schneller konvergiert.

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