zum Directory-modus

Integration im Computer

Simpson´sche Regel

Um die Trapezregel zu verbessern, wird ein Interpolationspolynom zweiten Grades oder eine Parabel als Approximation der Funktion f ( x ) auf dem Intervall [ a , b ] verwendet. Gegeben seien drei Punkte a , c , b des Intervalls [ a , b ] mit c = ( a + b ) / 2 . Das Lagrange´sche Interpolationspolynom zweiten Grades für die Punkte ( a , f ( a ) ) , ( c , f ( c ) ) und ( b , f ( b ) ) ist

y ( x ) = L a ( x ) f ( a ) + L c ( x ) f ( c ) + L b ( x ) f ( b ) ,

wobei

L a ( x ) = x - c a - c x - b a - b , L c ( x ) = x - a c - a x - b c - b u n d L b ( x ) = x - a b - a x - c b - c

Polynome zweiten Grades sind. Integrieren wir y ( x ) nach x auf dem Intervall [ a , b ]

Q 2 ( f ) = a b y ( x ) d x ,

so erhalten wir nach viel Algebra die Formel

Q 2 ( f ) = h 3 f ( a ) + 4 f ( c ) + f ( b ) .

Dabei ist h = ( b - a ) / 2 = b - c = c - a . Übrigens ist auch als die Kepler´sche Fassregel bekannt, da sie nach Kepler eine einfache Regel zur Bestimmung der Querschnittsfläche eines Fasses ist.

Für eine feinere Unterteilung des Intervalls [ a , b ] in n = 2 m , m = 1 , 2 , Streifen verwenden wir die Formel mehrfach. Damit erhält man die Simpson´sche Regel:

Q n ( f ) = h 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + + 4 f ( x n -1 ) + f ( x n ) ,

mit

x j = a + j h , j = 0 , 1 , , n und h = b - a n , n = 2 m m = 1 , 2 , 3 , .

Die Trapez- und die Simpson´sche Regel sind die ersten beiden Fälle der Newton-Cotes-Formeln, die auf der Annäherung der Funktion f ( x ) durch Interpolationspolynome sukzessiv-höherer Grade basieren:

Tab.1
Newton-Cotes-Formeln
GradQuadraturformelName
1 h 2 f ( a ) + f ( b ) Trapezregel
2 h 3 f ( a ) + 4 f ( ( a + b ) / 2 ) + f ( b ) Simpson´sche Regel
3 3 h 8 f ( a ) + 3 f ( a + h ) + 3 f ( b - h ) + f ( b ) Drei-Achtel-Regel
Seite 3 von 4