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Trapezregel

Die Trapezregel basiert darauf, dass man eine stetige Funktion f ( x ) auf dem Intervall [ a , b ] mit Hilfe einer Gerade y ( x ) durch die Punkte ( a , f ( a ) ) und ( b , f ( b ) ) annähern kann (Interpolationspolynom ersten Grades). Die dadurch entstandene Fläche ist ein Trapez. Laut der Zwei-Punkte-Form der Geraden ist

y ( x ) = f ( b ) - f ( a ) b - a x + b f ( a ) - a f ( b ) b - a .

Die Fläche des trapezförmigen Streifens ist

a b y ( x ) d x = f ( b ) - f ( a ) b - a x 2 2 a b + b f ( a ) - a f ( b ) b - a x a b = 1 2 f ( b ) - f ( a ) ( b + a ) + b f ( a ) - a f ( b ) = 1 2 b f ( b ) + a f ( b ) - b f ( a ) - a f ( a ) + b f ( a ) - a f ( b ) = 1 2 b f ( b ) - a f ( b ) + b f ( a ) - a f ( a ) = 1 2 ( b - a ) f ( a ) + f ( b ) .

Die Quadraturformel für n = 1 ( n = 1 Streifen, n +1 = 2 Stützstellen, d.h. x 0 = a , x 1 = b ) ist somit

Q 1 ( f ) = 1 2 ( b - a ) f ( a ) + f ( b ) .

Für eine feinere Unterteilung des Intervalls [ a , b ] in n Streifen verwenden wir die Formel mehrfach:

Q n ( f ) = j = 1 n x j -1 x j y j ( x ) d x mit x j = a + j h , j = 0 , 1 , , n .

Dabei ist

y j ( x ) = f ( x j ) - f ( x j -1 ) h x + x j f ( x j -1 ) - x j -1 f ( x j ) h .

Damit erhält man mit Hilfe der Gleichung die Trapezregel:

Q n ( f ) = j = 1 n 1 2 h f ( x j -1 ) + f ( x j ) = 1 2 h f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 2 f ( x 3 ) + + 2 f ( x n -1 ) + f ( x n ) .
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