Integration im Computer
Quadraturformeln
Numerische Integration ist die approximative Berechnung bestimmter Integrale. Man braucht die numerische Integration aus zwei Gründen: erstens, wenn keine Stammfunktion vorliegt, z.B. , zweitens, wenn die analytische Form der zu integrierenden Funktion nicht bekannt ist, z.B. eine durch Messungen ermittelte Funktion (siehe Funktionen im Computer). Hier werden die einfachsten Methoden zur numerischen Integralberechnung eingeführt.
Das bestimmte Integral einer im Intervall stetigen Funktion definiert man als Grenzwert einer Summe. Man wählt Punkte mit
die das Intervall in Teilintervalle unterteilen. In jedem Teilintervall wählt man einen Punkt . Damit bildet man die Summe
wobei mit und ist. stellt die gesuchte Fläche als Summe von Rechtecken dar. Vergrößert man die Anzahl der Teilintervalle, so erhält man eine Folge . Der Grenzwert dieser Folge, falls er existiert, ist das bestimmte Integral von bezüglich der Grenzen und :
Die Formel ist eine Näherung von . Wir schreiben nun die Summe in einer verwandten Form:
sind die Stützstellen und die Gewichtungskoeffizienten. Gleichung ist eine so genannte Quadraturformel. Mit einer passenden Wahl von Stützstellen und Gewichtungskoeffizienten eignet sich für die numerische Auswertung des bestimmten Integrals . Einige bekannte Beispiele davon sind die Trapez- und Simpson´sche Regel, die man als interpolatorische Quadraturformeln bezeichnet und i. Allg. als Newton-Cotes-Formeln bekannt sind. Diese erhält man dadurch, dass man die Funktion im Intervall durch ein Interpolationspolynom ersetzt und dieses dann integriert.
Trapezregel
mit
- Tab.1
- Trapezregel
Stützstellen | Gewichtungskoeffizienten |
---|---|
Simpson´sche Regel
mit
- Tab.2
- Simpson´sche Regel
Stützstellen | Gewichtungskoeffizienten |
---|---|
In beiden Fällen ist die Unterteilung des Intervalls äquidistant und die Endpunkte und des Integrationsintervalls sind Stützstellen. Dadurch sind Streifen und Stützstellen entstanden.
Im Gegensatz zur interpolatorischen Quadratur lässt sich eine Funktion auch mit Hilfe von Zufallszahlen integrieren. Dies ist die so genannte Monte-Carlo-Integration.