Quadraturformeln

Numerische Integration ist die approximative Berechnung bestimmter Integrale. Man braucht die numerische Integration aus zwei Gründen: erstens, wenn keine Stammfunktion vorliegt, z.B. $\mathit{f}(\mathit{x})={\text{e}}^{-{\mathit{x}}^2}$, zweitens, wenn die analytische Form der zu integrierenden Funktion $\mathit{f}(\mathit{x})$ nicht bekannt ist, z.B. eine durch Messungen ermittelte Funktion (siehe Funktionen im Computer). Hier werden die einfachsten Methoden zur numerischen Integralberechnung eingeführt.

Das bestimmte Integral einer im Intervall $\mathit{a}\le \mathit{x}\le \mathit{b}$ stetigen Funktion $\mathit{f}(\mathit{x})$ definiert man als Grenzwert einer Summe. Man wählt $\mathit{n}-1$ Punkte ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{\mathit{n}-1}$ mit

$$\mathit{a}={\xi }_0<{\xi }_1<{\xi }_2<\dots <{\xi }_{\mathit{n}-1}<\mathit{b}={\xi }_{\mathit{n}},$$

die das Intervall $\mathit{a}\le \mathit{x}\le \mathit{b}$ in $\mathit{n}$ Teilintervalle unterteilen. In jedem Teilintervall wählt man einen Punkt ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}\in [{\xi }_{\mathit{i}-1},{\xi }_{\mathit{i}}],\mathit{i}=1,2,\dots ,\mathit{n}$. Damit bildet man die Summe

$${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\mathit{f}({\mathit{x}}_{\mathit{i}})\Delta {\xi }_{\mathit{i}},$$

wobei $\Delta {\xi }_{\mathit{i}}={\xi }_{\mathit{i}}-{\xi }_{\mathit{i}-1}$ mit ${\xi }_0=\mathit{a}$ und ${\xi }_{\mathit{n}}=\mathit{b}$ ist. stellt die gesuchte Fläche als Summe von $\mathit{n}$ Rechtecken dar. Vergrößert man die Anzahl $\mathit{n}$ der Teilintervalle, so erhält man eine Folge $\{{\mathit{S}}_{\mathit{n}}\}$. Der Grenzwert $\mathit{S}$ dieser Folge, falls er existiert, ist das bestimmte Integral von $\mathit{f}(\mathit{x})$ bezüglich der Grenzen $\mathit{x}=\mathit{a}$ und $\mathit{x}=\mathit{b}$:

$$\mathit{S}=\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\mathit{f}({\mathit{x}}_{\mathit{i}})\Delta {\xi }_{\mathit{i}}=\mathit{S}=\underset{\mathit{a}}{\overset{\mathit{b}}{\int }}\mathit{f}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}.$$

Die Formel ist eine Näherung von $\mathit{S}$. Wir schreiben nun die Summe in einer verwandten Form:

$${\mathit{Q}}_{\mathit{n}}(\mathit{f})=\sum _{\mathit{i}=0}^{\mathit{n}}{\mathit{w}}_{\mathit{i}}\mathit{f}({\mathit{x}}_{\mathit{i}}).$$

$\mathit{a}\le {\mathit{x}}_0<{\mathit{x}}_1<\dots <{\mathit{x}}_{\mathit{n}}\le \mathit{b}$ sind die Stützstellen und ${\mathit{w}}_{\mathit{i}}$ die Gewichtungskoeffizienten. Gleichung ist eine so genannte Quadraturformel. Mit einer passenden Wahl von Stützstellen und Gewichtungskoeffizienten eignet sich für die numerische Auswertung des bestimmten Integrals . Einige bekannte Beispiele davon sind die Trapez- und Simpson´sche Regel, die man als interpolatorische Quadraturformeln bezeichnet und i. Allg. als Newton-Cotes-Formeln bekannt sind. Diese erhält man dadurch, dass man die Funktion $\mathit{f}(\mathit{x})$ im Intervall $[\mathit{a},\mathit{b}]$ durch ein Interpolationspolynom ersetzt und dieses dann integriert.

In beiden Fällen ist die Unterteilung des Intervalls $[\mathit{a},\mathit{b}]$ äquidistant und die Endpunkte $\mathit{a}$ und $\mathit{b}$ des Integrationsintervalls sind Stützstellen. Dadurch sind $\mathit{n}$ Streifen und $\mathit{n}\mathrm{+1}$ Stützstellen entstanden.

Im Gegensatz zur interpolatorischen Quadratur lässt sich eine Funktion auch mit Hilfe von Zufallszahlen integrieren. Dies ist die so genannte Monte-Carlo-Integration.