zum Directory-modus

Integration im Computer

Quadraturformeln

Numerische Integration ist die approximative Berechnung bestimmter Integrale. Man braucht die numerische Integration aus zwei Gründen: erstens, wenn keine Stammfunktion vorliegt, z.B. f ( x ) = e - x 2 , zweitens, wenn die analytische Form der zu integrierenden Funktion f ( x ) nicht bekannt ist, z.B. eine durch Messungen ermittelte Funktion (siehe Funktionen im Computer). Hier werden die einfachsten Methoden zur numerischen Integralberechnung eingeführt.

Das bestimmte Integral einer im Intervall a x b stetigen Funktion f ( x ) definiert man als Grenzwert einer Summe. Man wählt n - 1 Punkte ξ 1 , ξ 2 , , ξ n -1 mit

a = ξ 0 < ξ 1 < ξ 2 < < ξ n -1 < b = ξ n ,

die das Intervall a x b in n Teilintervalle unterteilen. In jedem Teilintervall wählt man einen Punkt x i [ ξ i -1 , ξ i ] , i = 1 , 2 , , n . Damit bildet man die Summe

S n = i = 1 n f ( x i ) Δ ξ i ,

wobei Δ ξ i = ξ i - ξ i -1 mit ξ 0 = a und ξ n = b ist. stellt die gesuchte Fläche als Summe von n Rechtecken dar. Vergrößert man die Anzahl n der Teilintervalle, so erhält man eine Folge { S n } . Der Grenzwert S dieser Folge, falls er existiert, ist das bestimmte Integral von f ( x ) bezüglich der Grenzen x = a und x = b :

S = lim n S n = lim n i = 1 n f ( x i ) Δ ξ i = S = a b f ( x ) d x .

Die Formel ist eine Näherung von S . Wir schreiben nun die Summe in einer verwandten Form:

Q n ( f ) = i = 0 n w i f ( x i ) .

a x 0 < x 1 < < x n b sind die Stützstellen und w i die Gewichtungskoeffizienten. Gleichung ist eine so genannte Quadraturformel. Mit einer passenden Wahl von Stützstellen und Gewichtungskoeffizienten eignet sich für die numerische Auswertung des bestimmten Integrals . Einige bekannte Beispiele davon sind die Trapez- und Simpson´sche Regel, die man als interpolatorische Quadraturformeln bezeichnet und i. Allg. als Newton-Cotes-Formeln bekannt sind. Diese erhält man dadurch, dass man die Funktion f ( x ) im Intervall [ a , b ] durch ein Interpolationspolynom ersetzt und dieses dann integriert.

Trapezregel

Q n ( f ) = h 2 f ( a ) + 2 f ( a + h ) + 2 f ( a +2 h ) + + 2 f ( a + ( n -1 ) h ) + f ( b )

mit

h = b - a n , n = 1 , 2 , 3 , .
Tab.1
Trapezregel
StützstellenGewichtungskoeffizienten
x 0 = a w 0 = h / 2
x 1 = a + h w 1 = h
x 2 = a +2 h w 2 = h
x n = b w n = h / 2

Simpson´sche Regel

Q n ( f ) = h 3 f ( a ) + 4 f ( a + h ) + 2 f ( a +2 h ) + 4 f ( a +3 h ) + + 4 f ( a + ( n -1 ) h ) + f ( b )

mit

h = b - a n , n = 2 , 4 , 6 .
Tab.2
Simpson´sche Regel
StützstellenGewichtungskoeffizienten
x 0 = a w 0 = h / 3
x 1 = a + h w 1 = 4 h / 3
x 2 = a +2 h w 2 = 2 h / 3
x 2 = a +3 h w 3 = 4 h / 3
x n = b w n = h / 3

In beiden Fällen ist die Unterteilung des Intervalls [ a , b ] äquidistant und die Endpunkte a und b des Integrationsintervalls sind Stützstellen. Dadurch sind n Streifen und n +1 Stützstellen entstanden.

Im Gegensatz zur interpolatorischen Quadratur lässt sich eine Funktion auch mit Hilfe von Zufallszahlen integrieren. Dies ist die so genannte Monte-Carlo-Integration.

<Seite 1 von 4