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Integration unendlicher Reihen von Funktionen

Integration unendlicher Reihen von Funktionen: Beispiel 2

Das Integral

I = 0 x 3 ( e x - 1 ) -1 d x

tritt z.B. bei der Berechnung der inneren Energie eines Phononengases (Debye´sche Theorie der Phononen) auf. Wir erweitern mit e - x und erhalten x 3 e - x ( 1 - e - x ) -1 . Führen wir die Division aus, so ergibt sich

0 x 3 ( e x - 1 ) -1 d x = 0 x 3 e - x + x 3 e -2 x + x 3 e -3 x + d x = 0 n = 1 x 3 e - n x d x .

Vorausgesetzt, dass die Behauptung

I = 0 n = 1 x 3 e - n x d x = n = 1 0 x 3 e - n x d x

gilt (hierfür muss die Funktionenreihe gleichmäßig konvergieren und die Glieder müssen integrierbar im Intervall [ 0 , ) sein, was der Fall ist), müssen wir also Integrale der Form

I n = 0 x 3 e - n x d x n = 1 , 2 , 3 ,

lösen. Das geschieht mit Hilfe der partiellen Integration:

0 x 3 e - n x d x = - 1 n x 3 e - n x 0 + 1 n 0 3 x 3 e - n x d x = - 1 n x 3 e - n x 0 - 3 n 2 x 2 e - n x 0 + 3 n 2 0 2 x e - n x d x = - 1 n x 3 e - n x 0 - 3 n 2 x 2 e - n x 0 - 6 n 3 x e - n x 0 + 6 n 3 0 e - n x d x = - 1 n x 3 e - n x 0 - 3 n 2 x 2 e - n x 0 - 6 n 3 x e - n x 0 - 6 n 4 e - n x 0 .

Bei den drei ersten Klammerausdrücken wird sowohl die obere als auch die untere Grenze Null, bei dem letzten nur die obere. Daher ist

I n = 0 x 3 e - n x d x = 6 n 4 .

Eingesetzt in ergibt das

I = 0 x 3 ( e x - 1 ) -1 d x = 6 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + .

Die Reihe auf der rechten Seite von

1 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + = n = 1 n -4

ist die Riemann´sche Zeta-Funktion

ζ ( x ) = n = 1 n - x , x , x > 1

für x = 4 . Einige spezielle Werte sind

ζ ( 2 ) = π 2 6 , ζ ( 4 ) = π 4 90 ,

die sich aus der reellen Fourieranalyse der Funktionen f ( x ) = x 2 bzw. f ( x ) = x 4 im Intervall ( - π , π ) ergeben. Mit

n = 1 1 n 4 = ζ ( 4 ) = π 4 90

ist folglich

I = 0 x 3 ( e x - 1 ) -1 d x = 6 ζ ( 4 ) = π 4 15 6 , 4950 .
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