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Integration unendlicher Reihen von Funktionen

Integration unendlicher Reihen von Funktionen: Beispiel 1

Wir betrachten die Fehlerfunktion, die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine wichtige Rolle spielt:

erf ( x ) = 2 π 1 / 2 0 x e - t 2 d t , erf ( ) = 1 .

Die Integralfunktion erf ( x ) kann man nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Man entwickelt also e - t 2 in eine Potenzreihe:

e - t 2 = 1 - t 2 2 + t 4 2 2 2 ! - t 6 2 3 3 ! + = n = 0 ( -1 ) n n ! t 2 n .

Da diese Funktionenreihe gleichmäßig konvergiert und die Glieder integrierbar im Intervall [ 0 , x ] sind, gilt die Behauptung

erf ( x ) = 2 π 1 / 2 0 x n = 0 ( -1 ) n n ! t 2 n d t = 2 π 1 / 2 n = 0 ( -1 ) n n ! 0 x t 2 n d t .

Das Integral auf der rechten Seite von kann leicht berechnet werden:

0 x t 2 n d t = t 2 n +1 2 n +1 0 x = x 2 n +1 2 n +1 .

Die Fehlerfunktion ist also

erf ( x ) = 2 π 1 / 2 n = 0 ( -1 ) n n ! ( 2 n +1 ) x 2 n +1 .

Man kann somit für jeden Wert von x erf ( x ) beliebig genau berechnen. Die Werte von erf ( x ) findet man in Tabellen.

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